概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征

一．填空题

X1. 若随机变量X的概率函数为

p?11234，则

0.20.10.30.30.1P(X?2)? 0.6 ；P(X?3)? 0.1 ；P(X?4X?0)? 0.125 .

2. 若随机变量X服从泊松分布P(3)，则P(X?2)? 1?4e?3?0.8006 . 16 . 153. 若随机变量X的概率函数为P(X?k)?c?2?k,(k?1,2,3,4).则c?

4．设A,B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4,则P(AB)=____________.（0.18）

5．设事件A、B互不相容，已知P(A)?0.4，P(B)?0.5，则P(AB)? 0.1

6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（

1） 31） 27．设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，则E(X)＝____________.（

8．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.

3k?3=e,k?0,1,2（P(X?k）k!）

9．某种电器使用寿命X（单位：小时）服从参数为??均使用寿命为____________小时.（40000）

1的指数分布，则此种电器的平

4000010在3男生2女生中任取3人，用X表示取到女生人数，则X的概率函数为 Xp012 . 0.10.60.3a1,(???x???)，则 ；a??1?x211.若随机变量X的概率密度为f(x)?P(X?0)? 0.5 ；P(X?0)? 0 . 1

?1?12.若随机变量X~U(?1,1)，则X的概率密度为 f(x)??2??0x?(?1,1)

其它13.若随机变量X~e(4)，则P(X?4)? ；P(3?X?5)? .

14.．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 ,0.1，则E(X)? 0.5

(x?1)?115．设X为正态分布的随机变量，概率密度为f(x)?e8，则E(2X2?1)? 9

22?216.已知X～B（n,p），且E（X）=8，D（X）=4.8，则n= 。 17．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则E(X)? 0 2二、单项选择题

1．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为0.5、0.6、0.7，则三人都未命中的概率为( D ) A．0.21 B. 0.14 C. 0.09 D. 0.06

2．若某产品的合格率为0.6，某人检查5只产品，则恰有两只次品的概率是( D ) A．0.62·0.43 B.0.63·0.42

2C5C.·0.62·0.43

2C5D. ·0.63·0.42

3．设离散型随机变量X的概率分布律为 X 0 p 则常数a=( B )

A．1/8 B.1/4 C.1/3 D.1/2

4．设随机变量X的概率密度为f(x)?A．正态分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.均匀分布

12πe?1 1/2 2 1/4 a (x2?2x?1)2，则X服从( A )

5．设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则参数n,p的值分别为( B ) A．4和0.6 B.6和0.4 C. 8和0.3 D.3和0.8

2

?1?,3

??0,其他，A．P?1

P?4

7. 设X为随机变量且X~N(0,1)，c为常数，则下列各式中不正确的是（ D ）

=0 B.A．E(X）E(cX)?cE(X)?0

C.D(X)?1 D. D(cX+1)?cD(X)?c

?2e?2xx?0;8.已知随机变量X的概率密度函数为f(x)??则X的均值和方差分别为（ D ）

其它.?0A.E(X)?2,D(X)?4 C.E(X)?B. E(X)?4,D(X)?2

1111,D(X)? D. E(X)?,D(X)? 4224三．解答题

1. 在10件产品中有2件次品，每次任取出一件，然后以一件正品放入。假定每件产品被取到的可能性是相同的，用X表示直到取到正品为止时的抽取次数，求X的概率分布及期望，方差。 解:随机变量X可以取值1，2，3. P(X?1)?8/10?0.8， P(X?2)?29??0.18， 1010P(X?3)?2110???0.02. 101010所以，X的概率分布为

Xp1230.80.180.02.

所以E(X)?1?0.8?2?0.18?3?0.02?1.22 又因为E(X)?1?0.8?2?0.18?3?0.02?1.7 所以D(X)?E(X)?E(X)?1.7?1.22?0.2116

2. 在一坐写字楼内有5套供水设备，任一时刻每套供水设备被使用的概率都为0.1，且各设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的供水设备套数的概率分布；并计算下列事件的概

3

222222率：（1）恰有两套设备被同时使用，（2）至少有3套设备被同时使用，（3）至少有1套设备被使用。

解:设同一时刻被使用的供水设备的套数为X. 则X~B(5,0.1)（二项分布）.

k于是，pk?P(X?k)?C5（k?0，1，2，3，4，5），即 0.1k?0.95?k，

XPk012345. 0.590490.328050.072900.008100.000450.00001P(X?2)?p2?0.07290,

, P(X?3)?p3?p4?p5?0.00810?0.00045?0.00001?0.00856P(X?1)?1?P(X?1)?1?p0?1?0.59049?0.40951.

) （单位：h）3.若某型号电子元件的使用寿命X~e(10000，（1）写出概率密度f(x)；（2）)；求概率P(X?15000（3）求这样的5个独立使用的元件在15000小时后至多有两个能使用

的概率。.

??1?10000e解:（1）随机变量X的概率密度为f(x)???0,?x10000, x?0,

x?0.）

（2

??15000P(X?15000)??1f(x)dx?10000???15000e?x10000dx??e?x10000??15000?e?1.5?0.2231.

（3）用Y表示5个这样独立使用的元件在15000小时后仍能使用的个数， 则Y服从二项分布B(5,e?1.5).于是

4

P(Y?2)?p5(0)?p5(1)?p5(2)1?1.5?(1?e?1.5)5?C5e(1?e?1.5)4?C52e?3(1?e?1.5)3?0.28303?0.40638?0.23340?0.9228.

4.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产2000只所出的次品数分别用X、Y来表示，经过一段时间的考察，X、Y的分布律分别为：

X P Y P 0 0.6 0 0.4 1 0.2 1 0.4 2 0.1 2 0.1 3 0.1 3 0.1 问哪一台加工的产品质量好些？

质量好坏可以用随机变量X和Y的期望（均值）来作比较， E（X）=0×0.6+1×0.2+2×0.1＋3×0.1=0.7， E（Y）=0×0.4+1×0.4+2×0.1＋3×0.1=0.9

由于E（X）＜ E（Y），即机床甲在2000件产品中次品平均数小于机床乙，因此可以认为机床甲的产品质量较好。

5.某台电子计算机，在发生故障前正常运行的时间X（单位：h）是一个连续型随机变量且

X~e(10000)，

（1）写出概率密度f(x)；

（2）求正常运行时间50h到100h之间的概率. （3）运行100h尚未发生事故的概率.

?1?x?0,?100e100,解:（1）随机变量X的概率密度为f(x)??

x?0.??0,1005010050x（2）P(50?X?100)??f(x)dx??1?e100x100dx =??ex100??100?x100|?e?e?1

10050?12P(X?100)????100??1?f(x)dx?e100?100x100dx??e??e?1

4、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??（1）求常数k的值； （2）求概率P?0.3?X?2?

0?x?1?kx，，

?0，其它5

（3）E(X),D(X) 解:由全概为1性,有

?????1kkf(x)dx??kxdx?（x2|1)?=1,所以k?2. 0022所以P?0.3?X?2?=?

?20.3f(x)dx??2xdx?x2|10.3?0.91

0.31?kx2，0?x?16、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??，

0，其它?（1）求常数k的值； （2）求概率P?0.3?X?2? （3）E(X),D(X) 解:由全概为1性,有

?????1kkf(x)dx??kx2dx?（x3|1)?=1,所以k?3. 0033所以P?0.3?X?2?=?

?20.3f(x)dx??3x2dx?x3|10.3?0.973

0.31E(X)??????13xf(x)dx??3x3dx?

042又因为E(X)?所以

?????x2f(x)dx??3x4dx?013 5D(X)?E(X2)?E2(X)?3323?()? 548027、某产品的长度（单位：mm）X~N(10.05,0.06),若规定长度在10.05?0.12mm之间为合格品，求合格品的概率.（?(2)?0.97725） 解：依题意X~N(10.05,0.06) 所以P(10.05?0.12?X?10.05?0.12)

210.05?0.12?10.05X?10.0510.05?0.12?10.05?P(??)

0.060.060.0610.05?0.12?10.0510.05?0.12?10.05??()??()

0.060.06??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.97725?1?0.9545

6

8、某年某地高等学校学生入学考试的数学成绩X近似的服从正态分布N(65,102),若85分以上为优秀，问数学成绩优秀的学生大致占总人数的百分之几？（?(2)?0.97725） 解：依题意X~N(65,102) 所以P(X?85)

?P(X?6585?65X?65X?65?)?P(?2)?1?P(?2) 10101010?1??(2)?1?0.97725?1?0.02275?3%

9．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布

N（72，?2），且96分以上的考生占考生总数的2.3%. 试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率. （已知?0(1)?0.8413,?0(2)?0.977）

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