上海市华东师大二附中2024届高三暑期练习数学(一)

华东师大二附中2015届暑期练习（一）

数学试卷

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数f?x??2．如果sin???x?x2的定义域为 .

3?22??)? ． ，?为第三象限角，则sin(233．设等差数列?an?的前n项之和Sn满足S10?S5?20，那么 a8? ． 4．设复数z1?1?5i，z2?3?mi，z1?z2?n?8i(m,n?R)，则z1z2?__________. 5．正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,N,P,Q分别是棱B1C1,C1D1,D1A1,BC的中点，则异面直线

MN与PQ所成的角等于__________.

6．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a,b,c，且bcosB是acosC,ccosA的等差中项，则角

B= .

7．若①a?b?9,②a?b?9,则同时满足①②的正整数a,b有 组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内

水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．

9．已知圆的方程是x?(y?1)?1，若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．

10．已知数列{an}中,a1?1,

22an ?2n?7(n?N*, n?1)，则当an取得最小值时n的值是 ．

an?111．设正四面体ABCD的棱长为a，P是棱AB上的任意一点，且P到面ACD,BCD的距离分 别为d1,d2，则d1?d2?___ . 3312．定义在R上的函数f(x)同时满足性质：①对任何x?R，均有f(x)?[f(x)]成立；②对任

何x1,x2?R，当且仅当x1?x2时，有f(x1)?f(x2).则f(?1)?f(0)?f(1)的值为 .

·1·

13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:

22?1?3 32?1?3? 5 42?1?3?5?7

323?3?5 33?7?9?1 1 4?13?15?17?19

根据上述分解规律,则5?1?3?5?7?9, 若m3(m?N*)的分解中最小的数是73,则m的值为 .

14．定义：对于各项均为整数的数列?an?，如果ai?i(i=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列?an?具有“P性质”；不论数列?an?是否具有“P性质”，如果存在数列?bn?与?an?不是同一数列，且?bn?满足下面两个条件：

（1）b1,b2,b3,...,bn是a1,a2,a3,...,an的一个排列；

（2）数列?bn?具有“P性质”，则称数列?an?具有“变换P性质”． 给出下面三个数列： ①数列?an?的前n项和Sn?2n2(n?1)； 3②数列{bn}：1，2，3，4，5；

③数列{cn}：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.

具有“P性质”的为 ；具有“变换P性质”的为 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．非零向量a,b，|a|?m，|b|?n，若向量c??1a??2b，则|c|的最大值为（ ） A．?1m??2n B．|?1|m?|?2|n C．|?1m??2n| D．以上均不对

x2y291*??1(n?N),其前n项和Sn?,则双曲线16．已知数列{an}的通项公式为an?10n?1nn(n?1)的渐近线方程为（ ） A．y??221032310x B．y??x x C．y??x D．y??3341017．已知△ABC中，AC?22,BC?2，则角A的取值范围是（ ）

·2·

A．???????????????,?. B．?0,?. C．?0,? D．?,? ?63??42??6??4?18．在平面斜坐标系xoy中?xoy?450,点P的斜坐标定义为:“若OP?x0e1?y0e2(其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(?1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足MF1?MF2（ ）

A．x?2y?0 B．x?2y?0 C．2x?y?0 D．2x?y?0 ,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知函数f(x)?msinx?2cosx ?m?0?的最大值为2． （1）求函数f(x)在?0，π?上的值域； （2）已知?ABC外接圆半径R?是a，b，求

3，f(A?)?f(B?)?46sinAsinB，角A，B所对的边分别

π4π411

?的值． ab

20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

|x?2|设a?1，函数f(x)的图像与函数y?4?a?2?ax?2的图像关于点A(1,2)对称．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程f(x)?m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围．

·3·

21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x?2y?20(0?x?20)，曲线段EF的方程是

xy?200(5?x?40)，设点M的坐标为(s,t)，记z?s?t.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥

和防波堤都不计宽度） （1）求z的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台MGK面积

B F yB E F KD D MGE A x S?MGK关于z的函数解析式，并求出该面

积的最小值

O C 图1 A O C 图2

22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(3,)，椭圆C左右焦点分别为F1,F2，上顶点为E，

ab2?EF1F2为等边三角形.定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为N(x0y0,). ab（1）求椭圆C的方程；

（2）求tan?MON的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

·4·

23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 已知数列{an}，{bn}满足：bn?an?1?an?n?N*?． （1）若a1?1,bn?n，求数列{an}的通项公式； （2）若bn?1bn?1?bn?n?2?，且b1?1,b2?2．

① 记cn?a6n?1?n?1?，求证：数列?cn?为等差数列；

?a?② 若数列?n?中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．

?n?

数学试卷参考答案及评分细则

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．[0,1]； 2．

1?0； 3．4； 4．?12?18i； 5．60； 6．； 7．25； 8．8； 339．??2sin?； 10．6或7； 11．

6a； 12．0 ； 13．9； 14．①、② 3二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．B； 16．C； 17．C； 18．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）

解：（1）由题意，f(x)的最大值为m2?2，所以m2?2=2．………………………2分 π 而m?0，于是m?2，f(x)?2sin(x?)．…………………………………4分

4f(x)在[0,?π?，π]上递增．在??4?递减， 4??

所以函数f(x)在?0，π?上的值域为[?2,2]；…………………………………5分

ππ （2）化简f(A?)?f(B?)?46sinAsinB得

44·5·

A?siBn? sin26AsinBs……………………………………………………7in．分

由正弦定理，得2R?a?b??26ab，……………………………………………9分 因为△ABC的外接圆半径为R?所以

3．a?b?2ab．…………………………11分

11??2…………………………………………………………………12分 ab

20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）设点P(x,y)是函数f(x)图像上任意一点，P关于点A对称的点为P?(x?,y?)，则

x?x?y?y??1，?2，于是x??2?x，y??4?y，………………2分 22因为P?(x?,y?)在函数g(x)的图像上，所以y??4?a|x?2|?2?ax?2，…4分 即4?y?4?a|?x|?2?a?x，y?a|x|?2?a?x，

所以f(x)?a|x|?2?a?x．……………………………………………………6分

x（2）令a?t，因为a?1，x?0，所以t?1，

??所以方程f(x)?m可化为t?22?m，…………………………………………8分 t即关于t的方程t?mt?2?0有大于1的相异两实数解．

?h(1)?0?m?2作h(t)?t?mt?2，则??1，………………………………………12分

2?2??m?8?0解得22?m?3；所以m的取值范围是(22,3)．………………………14分

21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由题意，得M(s,t)在线段CD：x?2y?20(0?x?20)上，即s?2t?20， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，

所以5?s?10；.…………………………………………………………………2分. z?s?t?s(10?11s)??(s?10)2?50,5?s?10；………………………4分 22·6·

75?z?50..………………………………………………6分 2200200),G(,t)，..…………………………………………8分 （2）由题意，得K(s,st11200200140000?s)(?t)?(st??400) 所以S?MGK??MG?MK?(22ts2st所以z的取值范围是则S?MGK?140000?75?(z??400),z??,50?，..……………………………10分 2z?2?140000?75?(z??400)在z??,50?单调递减，..………12分 2z?2?因为函数S?MGK?所以当z?50时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分

22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

3?3??a24b2?1?x2y2?22222??1.·解：（1）由已知?a?b?c，解得a?4,b?3 ,方程为······················4分 43?c1???a2?（2）当x0y0?0时，显然tan?MON?0，由椭圆对称性，只研究x0?0,y0?0即可，

设kOM?2ky0，于是kON?···························································5分 ?k（k?0）

x032k?k2?32?33tan?MON????? 22k31??2k2233k（当且仅当k?23时取等号）··············································································8分 2（3） 设A(x1,y1),B(x2,y2),则P??x1y1??x2y2?,?,Q?2,?; 23??3?? 1)当直线l的斜率存在时,设方程为y?kx?m,

·7·

?y?kx?m?由?x2y2 得: (3?4k2)x2?8kmx?4(m2?3)?0；

?1??3?4????48(3?4k2?m2)?0??8km?有?x1?x2? ①···································································10分 23?4k??4(m2?3)?x1x2?3?4k2?由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得: 3x1x2?4y1y2?0； 整理得: (3?4k2)x1x2?4mk(x1?x2)?4m2?0 ②

将①式代入②式得: 3?4k?2m, ································································· 12分

22?3?4k2?0,?m2?0,??48m2?0

又点O到直线y?kx?m的距离d?m1?k2

43?m433?4k2?m22AB?1?kx1?x2?1?k?1?k3?4k23?4k243?m?1?k22m2 1所以S?OAB?ABd?3·············································································14分

2222) 当直线l的斜率不存在时,设方程为x?m(?2?m?2)

3(4?m2)联立椭圆方程得: y?；

423(4?m2)?0； 代入3x1x2?4y1y2?0得3m?42m??1125215S?OAB?ABd?my1?y2?3y??225,5

综上: ?OAB的面积是定值3

·8·

又?ODE的面积也为3,所以二者相等. ·························································16分

23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 解：（1）当n?2时，有

an?a1??a2?a1???a3?a2????an?an?1??a1?b1?b2?n2n?bn?1???1．

22n2n又a1?1也满足上式，所以数列?an?的通项公式是an???1．…………4分

22bb1?n?1?bn，所以， （2）①因为对任意的n?N*，有bn?6?n?5?bn?4bn?3bn?2cn?1?cn?a6n?5?a6n?1?b6n?1?b6n?b6n?1?b6n?2?b6n?3?b6n?4?1?2?2?1?11??7， 22所以，数列?cn?为等差数列．……………………………………………………8分 ②设cn?a6n?i?n?N*?（其中i为常数且i??1,2,3,4,5,6?，

所以，cn?1?cn?a6n?6?i?a6n?i?b6n?i?b6n?i?1?b6n?i?2?b6n?i?3?b6n?i?4?b6n?i?5?7， 即数列?a6n?i?均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分 777i?6k??ai?iai?i?aa?7k66?7?6． ?设fk?6k?i?i6k?ii?6ki?6k6i?6k（其中n?6k?i,k?0,i为?1,2,3,4,5,6?中一个常数）

a77当ai?i时，对任意的n?6k?i，有n?；……………………………… 12分

6n677ai?iai?i?6766??a?7i?当ai?i时，fk?1?fk?． ??i?6?k?1??i6k?i?6??66k?1?i6k?i???????7?a?（Ⅰ）若ai?i，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列?6k?i?为递减数列；

6?6k?i?7?a?（Ⅱ）若ai?i，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列?6k?i?为递增数列．

6?6k?i??7??4??1??1??1??1??74111?综上所述，集合B?????????????????,,,?,??．

?6??3??2??3??6??2??63236??a?当a1?B时，数列?n?中必有某数重复出现无数次；

?n??a?当a1?B时，数列?6k?i??i?1,2,3,4,5,6?均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出

?6k?i?·9·

?a?现一次，所以数列?n?任意一项的值均未在该数列中重复出现无数

?n?次．………………………………………………………………………………… 18分

·10·

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