肇庆市中小学教学质量评估
2011—2012学年第一学期统一检测题
写
在答题卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：1、锥体的体积公式V?高三数学（理科）
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填
1Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 3n(ad?bc)222、2?2列联表随机变量K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2?k)与k对应值表：
P(K2?k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足(1?i)z?1?i，则复数z的共轭复数z?( ) A．?i B．i C.1?i D．1?i 2. 已知集合M?{x|x2?2x?3?0},N?{x|?2?x?4}，则M?N? A.{x|?1?x?3} B.{x|?1?x?4} C. {?3,1} D.{?1,3} 3. 命题“?(x,y),x,y?R,2x?3y?3?0”的否定是
A.?(x,y),x,y?R,2x?3y?3?0 B.?(x,y),x,y?RR,2x?3y?3?0 C.?(x,y),x?R,y?R,2x?3y?3?0 D.?(x,y),x?R,y?R,2x?3y?3?0 4．若向量a，b满足a?b?2，a与b的夹角为60°，则|a?b|? A. 22?3
B. 23
C. 4
D.12
?x?y?1?0，?5. 若实数x，y满足?x?y?0，则z?2x?3y的最大值是
?x?0，?A. 0
B.
1 2 C. 2 D. 3
6．函数f(x)?x?1的单调递减区间是 xA.(?1,1) B.(?1,0)?(0,1) C.(?1,0),(0,1) D.(??,?1),(1,??)
7．从点P(m,3)向圆C:(x?2)2?(y?2)2?1引切线,则切线长的最小值为( )
A.26 B.26 C.4?2 D.5
8．对任意实数x,y，定义运算x?y?ax?by?cxy，其中a,b,c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1?2?3，2?3?4，并且有一个非零常数m，使得?x?R，都有x?m?x，则3?4的值是（ ）
A. ?4 B. 4 C.?3 D.3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）
9．不等式3x?4?4的解集是 10．图1是一个质点做直线运动的V?t图象，
则质点在前6 s内的位移为 m
11．图2-1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成
绩
依次记为A1，A2，?，A12．图2-2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算
法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ．
12. 在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则△ABC的面积等于 13．若函数y?f?x? ?x?R?满足f?x?2??f?x?且x???1,1?时，f?x??1?x；函
2数g(x)?lgx ，则函数y?f?x?与y?g?x?的图象在区间??5,5?内的交点个数共有 个.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若
PA=5,AB=7,CD=11,AC?2，则BD等于 15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(?,?)(0???2?)中，
点 P(2,5??)?cos(??)?2的距离等于 到直线44
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
设函数f?x??Asin?2x?????3??（x?R）的图象过点P??7??,?2?． ?12???的?（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）已知f?值.
17.（本小题满分12分）
?3?????10????，????0，求cos???24?212?13?现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．
月收入（单位百元） [15,25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65,75) 频数 赞成人数 （Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异； 赞成 不赞成 合计
（Ⅱ)若对在[15，25） ，[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ?，求随机变量?的分布列及数学期望。
18. （本题满分14分）
如图4，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB?AC?AA1?4
月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 5 4 10 8 15 12 10 5 5 2 5 1 a? b? c? d? （I））求证：B1O⊥平面AEO； （II）求二面角B1?AE?O的余弦值． （Ⅲ）求三棱锥A?B1OE的体积.
19.（本小题满分14分）
一动圆与圆O1:(x?2)2?y2?3外切，与圆O2:(x?2)2?y2?27内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点P，使直线PO1与PO2的斜率kPO1?kPO2?1？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
20. （本小题满分14分）
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
?an?an?2?an?1， ②an?M.2其中n?N，M是与n无关的常数.
（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a4?2，S4?20，证明：{Sn}?W; （Ⅱ）设数列{bn}的通项为bn?5n?2n，且{bn}?W，求M的取值范围； （Ⅲ）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}?W.证明cn?cn?1. 21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax?(a?1)x，（a?R）. 2（Ⅰ）已知函数y?g(x)的零点至少有一个在原点右侧，求实数a的范围.
（Ⅱ）记函数y?F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?x1?x2；②曲线C在点M处的切2线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.
试问：函数G(x)?f(x)?g(x)（a?R且a?0）是否存在“中值相依切线”，请说
明理由.
2011—2012学年第一学期统一检测题 高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：
1?i(1?i)21. B解析：z????i?z?i
1?i(1?i)(1?i)2. D解析：M?{x|x2?2x?3?0}?{?1,3}，所以M?N?{?1,3}
3. C解：?(x,y)的否定是?(x,y)，2x?3y?3?0的否定是2x?3y?3?0故选择C。
14. B解析：|a?b|2?|a|2?|b|2?2|a||b|cos600?4?4?2?2?2??12，
2|a?b|?23
115. D解析：平面区域如图，三个“角点”坐标分别为(0,0),(0,1),(?,)，
22所以zmax?3
116. C解析：函数f(x)?x?的定义域为x?0的实数，令f?(x)?1?2?0解得x??1，
xx当?1?x?0或0?x?1时f?(x)?0，所以函数f(x)的单调递减区间是(?1,0),(0,1)
7. A解析：利用切线长与圆半径的关系加以求解.设切点为M，则CM⊥MP，
22 于是切线MP的长MP=CP?MC?(m?2)2?(3?2)2?1，显然，当m??2时，MP有最小值24?26.
8. D解：依题意得ax?mb?cmx?x?(cm?a?1)x?bm?0恒成立，因为m?0，所以
? b?0?a?2b?2c?3?a??6c?1?a?5，又，所以x?y?5x?xy ???????cm?a?1?0?2a?3b?6c?4?b?2c?2?c??1故3?4?5?3?3?4?3
二、填空题：
x?4?9. 填：?x|0?x?? 解：由3x?4?4得?4?3??8?3??4?0x?8 3?3t, 0?t?4,??410. 填：9. 解1：由题图易知V(t)??
3?9?t, 4?t?6.??264363324326 ∴s=?v(t)dt??tdt??(9?t)dt=t0?(9t-t)4=6+3=9.
00442841解2：质点在前6s内的位移为三角形的面积s??6?3?9
211. 填：9. 解析：算法流程图输出的结果是“分数大于或等于90分的次数”，从茎叶图中可知共有9次分数大于或等于90分.
9?16?131AB2?AC2?BC212. 填：33. 解：由余弦定理cosA= = =，
2?3?422AB?AC
∴sinA=
3. 2113AB?ACsinA??3?4??33 22213. 填：8.解： 函数y?f?x?以2为周期，y?g?x?是偶函数，画出图像可知有8个交
∴S?ABC?点.
14. 填：6.
解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去). 又∵PA·PB=PC·PD,故BD?3AC?6
15. 填：2?2 解：点 P(2,PAPCACPA51????. ,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴PDPBBDPD1535??)的直角坐标为(?2,?2)，直线?cos(??)?244的直角坐标方程为x?y?2?0，所以d?三、解答题
16. 解（Ⅰ）∵f(x)的图象过点P? ∴A?2 (3分) 故f(x)的解析式为f|?2?2?2|?2?2
23??7???7???f????Asin??2 ??Asin?2?121232?????7??∴,?2?，
12??2x???????????10?????(Ⅱ) ∵f????2sin?2??????2sin?????2cos??
2122123213????????5即cos??, (7分)
1312?5?∵????0，∴sin???1?cos???1?????
213?13?2n?x??2si????? （5分）
3??2 （9分）
3??∴cos???4?3?3?5?2?122172?????????cos?cos?sin?sin（12?????1321322644???分）
17. 解:（Ⅰ）2乘2列联表 月收入不低于55百元人数 赞成 月收入低于55百元人数 a?3 c?29 合计 32 不赞成 合计 2b?7 10 d?11 40 18 50 50?(3?11?7?29)2K??6.27?6.635.
(3?7)(29?11)(3?29)(7?11)所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. （6分）
2C82C462884（Ⅱ）?所有可能取值有0,1,2,3，P???0??2?2?， ??C5C1010452251112C82C4C8CC4428616104 P???1??2?2?2?22?????C5C10C5C101045104522511122C8C2C4C4C24166135 P???2??2?2?2?2?????C5C10C5C101045104522512C4C2412 P???3??2?2???C5C101045225所以?的分布列是
? 0 1 2 3 84104352 P 2252252252251047064???。 （12分） 所以?的期望值是E??0?225225225518. 解：依题意可知， AA1?平面ABC，∠BAC＝90°，
方法1：空间向量法 如图建立空间直角坐标系o?xyz，因为AB?AC?AA1＝4，
则A(0,0,0),B(4,0,0)E(0,4,2),O(2,2,0),B1(4,0,4)
????????????（I）BO?(?2，2，?4)，EO?(2，?2，?2)，AO?(2,2,0) 1????????????????BOEO?(?2)×2?2×(?2)?(?4)×(?2)?0，∴B1O?EO，∴B1O?EO 1?????????????????BOAO?(?2)×2?2×2?(?4)×0?0， ∴B1O?AO，∴B1O?AO 1?,EO?平面AEO ∴ B1O⊥平面AEO （5分） ∵AO?EO?O， AO（II） 平面AEO的法向量为B1O?(?2，2，?4)，设平面 B1AE的法向量为
??????·AE?0?2y?z?0??nn?(x，y，z)，∴??????， 即?
·B1A?0?x?z?0??n?，∴z?(21，，?2) 令x＝2，则z??2，y?1?????n·BO66??????????∴cos?n， B1O???1?6|n·||B1O|9×246 （10分） 6????????????????（Ⅲ）因为AO?EO?2?2?2?2?0?0，∴AO?EO， ∴AO?EO
????????22∵AO?|AO|?2?2?0?22，EO?|EO|?23 111∴VA?B1OE?VB1?AOE?S?AOE?B1O???22?23?26?8 (14 分)
332∴二面角B1—AE—F的余弦值为方法2：
依题意可知， AA1?平面ABC，∠BAC＝90°，BC?∴AO?22 AB2?AC2?42，（I）∵AB?AC，O为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1O⊥AO，
22222因为AB＝AA，则,∴ ?4BO?24,EO?12,BE?36BO?EO?BE11111∴B1O⊥EO，∴B1O⊥平面AEO； （5分） （II）过O做OM⊥AE于点M，连接B1M， ∵B1O⊥平面AEO，可证B1M⊥AE，
∴∠B1MO为二面角B1—AE—O的平面角， C1C⊥平面ABC，AO⊥OC，可证EO⊥AO， 在Rt△AEO中，可求OM?10， 56 6在Rt△B1OM中，∠B1OM＝90°，∴cos?B1MO?∴二面角B1—AE—O的余弦值为6 （10分） 6（Ⅲ）因为AB=AC，O为BC的中点，所以AO?BC
又平面ABC?平面BCC1B1，且平面ABC?平面BCC1B1?BC，
所以AO?平面BCC1B1, 故AO是三棱锥A?B的高 1OE∴VA?B1OE?VB1?AOE?111S?AOE?B1O???22?23?26?8 (14分) 33219. 解：（1）设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．
由题意，得MO1?3?R，MO2?33?R， (1分)
∴MO1?MO2?43, 由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上， (3分)
且a?23，c?2，∴b?a?c?12?4?8． (5分)
222x2y2∴动圆圆心M的轨迹方程为??1． (6分)
128(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为O1(?2,0)和O2(2,0) (7
分)
设P(x,y)是椭圆上的点，由kPO1?kPO2?1得分)
即x?y?4(x??2)，这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO1与PO2的斜率kPO1?kPO2?1. (12分) 20. 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则?22yy??1,(x??2) (9x?2x?2?a1?3d?2?a1?8，解得?，
4a?6d?20d??2??1所以Sn?na1?由
Sn?Sn?22S?Sn?2?Sn?1,适合条件①； 得n292812又Sn??n?9n??(n?)?所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适
24合条件②
综上，{Sn}?W （4分）
（Ⅱ）因为bn?1?bn?5(n?1)?2n?1?5n?2n?5?2n,所以当n≥3时，bn?1?bn?0，此时数列{bn}单调递减；当n=1，2时，bn?1?bn?0，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7
所以M≥7 （8分）
（Ⅲ） 假设存在正整数k，使得ck?ck?1成立
由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck?ck?1?1，即ck?1?ck?1
n(n?1)d??n2?9n(2分) 2 1?Sn?1?[(?n2?9n)?(n?2)2?9(n?2)?2(n?1)2?18(n?1)]=－1＜0
2ck?ck?2?ck?1，所以ck?2?2ck?1?ck?2(ck?1)?ck?ck?2 2由ck?2?2ck?1?ck及ck?ck?1,得ck?2?2ck?2?ck?1?ck?1,故ck?2?ck?1?1
因为因
为
ck?1?ck?3?ck?2,所以ck?3?2ck?2?ck?1?2(ck?1?1)?ck?1?ck?1?2?ck?3 2……………………依次类推，可得ck?m?ck?m(m?N*)
设ck?p(p?N*),则当m?p时，有ck?p?ck?p?0 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有cn?cn?1成立. ( 14分)
21. 解：(Ⅰ)(1)当a?0时，g(x)?x，直线与x轴的交点为O(0,0)，即函数y?g(x)的
零点为0，不在原点右侧，不满足条件. (1分) (2)当a?1时，g(x)?12x，抛物线的顶点为O(0,0)，即函数y?g(x)的零点为0，不在2原点右侧，不满足条件. (2分)
1a?12(a?1)2（3）当0?a?1时，g(x)?a(x?，抛物线开口向上且过原点，对称轴)?2a2aa?1x??0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数y?g(x)的零点不在
a原点右侧，不满足条件. (3分)
2（4）当a?1时，g(x)?1a(x?a?1)2?(a?1)，抛物线开口向上且过原点，对称轴
2a2ax?a?1?0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y?g(x)有一个零a点在原点右侧，满足条件. (4分)
2（5）当a?0时，g(x)?1a(x?a?1)2?(a?1)，抛物线开口向下且过原点，对称轴
2a2aa?1?0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y?g(x)有一个零点a在原点右侧，满足条件. (5分) 综上可得，实数a的取值范围是(??,0?)(1?,?. (6分) x? (Ⅱ)假设函数G(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?G(x)上的不同两点，且0?x1?x2， 则y1?lnx1? kAB1212ax?(a?1)xy?lnx?axx，11222?(a?1). 222122y2?y1(lnx2?lnx1)?2a(x2?x1)?(a?1)(x2?x1) ??x2?x1x2?x1 ?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1) （8
x2?x12分）
曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率
k?G?(x0)?G?(分）
依题意得：
x?x2x1?x2?a?12?(a?1)， （9)?2x1?x22x?x2lnx2?lnx11?a?12?(a?1). ?a(x1?x2)?(a?1)?x1?x22x2?x12x2(2?1)lnx2?lnx1x2(x2?x1)2x1化简可得： ， 即ln2=. （11??xx2?x1x1?x2x1x2?x12?1x1分） 设
x242(t?1)4上式化为：lnt?, 即lnt? ?t (t?1)，?2. （12分）?2?t?1t?1t?1x12(t?1)414 令h(t)?lnt,h'(t)??. ??22t?1t(t?1)t(t?1) 因为t?1,显然h'(t)?0，所以h(t)在(1,??)上递增,显然有h(t)?2恒成立.
,内不存在) 所以在(1??t,使得lnt?4?2成立.
t?1 综上所述，假设不成立.所以，函数G(x)不存在“中值相依切线”. （14分）
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