概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案完整版

解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它 fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1, 即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它. 3.2 条件分布与随机变量的独立性 习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为 X\\Y 01 01 7/157/307/301/15 (1)求Y的边缘分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}; (3)判定X与Y是否独立？ 解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值. P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7 P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3. (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23, P{y=1∣x=0}=13. (3)已知P{x=0,y=0}=715, 由(1)知P{y=0}=0.7, 类似可得 P{x=0}=0.7. 因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0}, 所以x与y不独立. 习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 X\\Y 5152535455 51525354 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.55 050.060.050.010.03 (1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律. 解答：(1)边缘分布律为 X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}. Y 5152535455 pk 0.280.280.220.090.13 (2)当Y=51时,X的条件分布律为 P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55. 列表如下: k 5152535455 P{X=k∣Y=51} 6/287/285/285/285/28 习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律; (2)在X=2的条件下,Y的条件分布律. X\\Y 012 012 1/41/8001/301/601/8

解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为 X 012 pk 3/81/37/24 Y 012 pk 5/1211/241/8 故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为 X∣(Y=1) 012 pk (2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为 Y∣(X=2) 012 pk 4/703/7 3/118/110 习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={3x,0

=1-112-16=34.

习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55～8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度 fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它, 求此人能及时上火车站的概率. 解答：由题意知X的密度函数为

fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为： fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为 P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.

习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数. 解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是 fX(x)=12πe-x22， fY(y)=12πe-y22 因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12πe-12(x+y)2. 习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞

解答：若X与∣X∣相互独立，则?a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, 而事件{∣X∣≤a}?{X≤a}, 故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, ?P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0

?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?(?a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立. 习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为

fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,

(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率. 解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0

又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12e-y2,000,其它; (2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},

故如图所示得到： P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy =-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx] =1-2π[Φ(1)-Φ(0),

又Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413, 所以 P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布

习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.

解答：由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(ij),于是，随机变量U和V的联合概率分布为

V\\概率\\U 1 2 3 1 2 3 2/9 1/9 2/9 0 1/9 2/9 0 0 1/9

习题2设(X,Y)的分布律为 X\\Y -112 -12 1/101/53/101/51/101/10 试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律. 解答： 与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并. 概率 1/101/53/101/51/101/10 (X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y} (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222 于是 (1) (2) X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10 (3) (4) X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10 max{X,Y} -112 pi 1/101/57/10 XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10 习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布，且 U={0,X≤Y1,X>Y, V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布. 解答：依题(U,V)的概率分布为 P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y} =∫01dx∫x112dy=14, P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0, P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y00,z≤0. 习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它, (1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度. 解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy

={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0

\%under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,

由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然 f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0, 所以X与Y不独立.

(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx. 当{x>0z-x>0 即 {x>0x

当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是，Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.

习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.

解答：据题意，X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0

由00时， fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,01.

习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1， 所以b=11-e-1，从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0

（2）由边缘概率密度的定义得 fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0

（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)， 其中 FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0

习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为 ?1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ?2(y)={βe-βy,y>00,y≤0, 其中α>0,β>0,α≠β, 试求系统L的寿命Z的概率密度. 解答：设Z=min{X,Y}, 则 F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}

=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z} =1-[1P{X00,z≤0.

习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试明： P{aa}]2-[P{X>b}]2. 解答：设min{X,Y}=Z,则 P{a

FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z} =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z} =1-[P{X>z}]2, 代入得 P{ab}]2-(1-[P{X>a}]2)

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