2024—数一真题、标准答案及解析(3)

FZ(z)?P(XY?z)?P(XY?zY?0)P(Y?0)?P(XY?zY?1)P(Y?1)1?[P(XY?zY?0)?P(XY?zY?1)]21?[P(X?0?zY?0)?P(X?zY?1)]2?X,Y独立

1?FZ(z)?[P(X?0?z)?P(X?z)]

21（1）若z?0，则FZ(z)??(z)

21（2）当z?0，则FZ(z)?(1??(z))

2?z?0为间断点，故选（B）.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? .

?x?y\\【答案】xf12. ?f2'?xyf22?z?2z''\\\\?f1?f2?y，【解析】. ?xf12?f2'?yx?f22?xf12?f2'?xyf22?x?x?yx（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次方程

y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . 【答案】y??xe?x?2.

【解析】由y?(c1?c2x)ex，得?1??2?1，故a??2,b?1 微分方程为y''?2y'?y?x

*设特解y?Ax?B代入，y'?A,A?1

x

?2A?Ax?B?x?2?B?0,B?2*

? 特解 y?x?2

? y?(c1?c2x)e?x?2

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x 把 y(0)?2 ， y'(0)?0代入，得c1?0,c2??1 ? 所求y??xex?x?2 （11）已知曲线L:y?x【答案】

2?0?x?2?，则?xds? . L13 6【解析】由题意可知，x?x,y?x2,0?x?2，则

ds?所以

??x?2??y??dx?1?4x2dx，

22?Lxds??012x1?4xdx??1?4x2d?1?4x2?

802212??83?1?4x?4?. 15230?13 62（12）设??【答案】

??x,y,z?x?y2?z2?1，则???z2dxdydz? . ??【解析】 方法一：

2222zdxdydz?d?d??sin??cos?d? ??????0002??1??d??cos?d??cos????4d?

20002??1cos3??14?2????d???

3?0515方法二：由轮换对称性可知

???zdxdydz????xdxdydz????ydxdydz

???222所以，

2z???dxdydz??12?111?2224x?y?zdxdydz?d?d?rsin?dr ????????0003?32?3??0sin?d??r4dr?02?1?4????sin?d??

03515TTT其中?为?的转置，则矩阵??的非零特征值为 . ??2，

（13）若3维列向量?,?满足?【答案】2. 【解析】??T??2

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???T?????T???2??, ???T的非零特征值为2.

(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差.

22若X?kS为np2的无偏估计量，则k? .

【答案】?1.

【解析】?X?kS为np2的无偏估计 ?E(X?kX)?np

?22?2?np?knp(1?p)?np2

?1?k(1?p)?p?k(1?p)?p?1?k??1

三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）

22求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.

??【解析】

fx?(x,y)?2x(2?y2)?0

fy?(x,y)?2x2y?lny?1?0

故x?0,?y?1 e???2(2?y2),?fyy???2x2?fxx1???4xy ,?fxyy??则fxx1(0,)e?2(2?1??1?0，fyy??)，fxy2(0,)ee1(0,)e?e.

???0而(fxy??)2?fxx??fyy???0 ?fxx11?二元函数存在极小值f(0,)??.

ee（16）（本题满分9分） 设an为曲线y?x与y?xnn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记

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S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值.

n?1n?1??【解析】由题意，y?xn与y=xn+1在点x?0和x?1处相交，

1n1n?11n?2111n?1所以an??(x?x)dx?(， x?x)??00n?1n?2n?1n?2从而S1??1111111 a?lima?lim(????-)?lim(?)???nnN??N??2N??3N?1N?22N+22n?1n?1??NS2??a2n?1??（n?1n?111111111111?）（=?????)????? 2n2n+1232N2N+123456n12(n?1)x?? 取x?1得 由ln(1+x)=x-x???(?1)2n111ln(2)?1?(???)?1?S2?S2?1?ln2.

234x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43（Ⅰ）求S1及S2的方程

（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积.

x2y2?z2??1， 【解析】（I）S1的方程为43x2y2?1???1的切线为y???x?2?， 过点?4,0?与43?2??1?所以S2的方程为y2?z2??x?2?.

?2?（II）S1与S2之间的体积等于一个底面半径为

239、高为3的锥体体积?与部分椭球体体积V之差，其中243?25?952V?(4?x)dx??????. .故所求体积为

4?1444（18）（本题满分11分）

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（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，使得

f?b??f?a??f?????b?a?

f??x??A，则f???0?存在，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0且f???0??A.

【解析】（Ⅰ）作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)，易验证?(x)满足：

b?af(b)?f(a)?(a)??(b)；?(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且?'(x)?f'(x)?.

b?a根据罗尔定理，可得在?a,b?内至少有一点?，使?'(?)?0，即

f'(?)?f(b)?f(a)?0,?f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

b?a（Ⅱ）任取x0?(0,?)，则函数f(x)满足：在闭区间?0,x0?上连续，开区间?0,x0?内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在?x0??0,x0???0,??，使得

f'?x0?f又由于lim?x?0'??f(x0)?f(0)……?*?

x0?0?x??A，对上式（*式）两边取x0?0?时的极限可得：

f(x0)?f?0?f??0??lim??lim?f'(?x0)?lim?f'(?x0)?A

x0?0x0?0?x0?0x0?0'故f?'(0)存在，且f?'(0)?A.

（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322，其中

??是曲面

2x2?2y2?z2?4的外侧.

【解析】I?????xdydz?ydxdz?zdxdy222，其中2x?2y?z?4 2223/2(x?y?z)?xy2?z2?2x2?(2)?2,① ?x(x?y2?z2)3/2(x?y2?z2)5/2?yx2?z2?2y2(2)?2,② 223/2225/2?y(x?y?z)(x?y?z)梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！

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