2024—数一真题、标准答案及解析(4)

?zx2?y2?2z2()?2,③ ?z(x2?y2?z2)3/2(x?y2?z2)5/2?①+②+③=

?x?y?z(2)?()?()?0 ?x(x?y2?z2)3/2?y(x2?y2?z2)3/2?z(x2?y2?z2)3/2由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）

?1:x2?y2?z2?R2.0?R?1有 16?????????1xdydz?ydxdz?zdxdyxdydz?ydxdz?zdxdy134?R3???3???3dV?3??4? 3??(x2?y2?z2)3/2RRR3?1?（20）（本题满分11分）

?1?1?1???1?????1? ?1??1? 设A???11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关. 【解析】（Ⅰ）解方程A?2??1

?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1???????1111?0000?0211?A,?1????????? ?0?4?2?2??0211??0000??????? r(A)?2故有一个自由变量，令x3?2，由Ax?0解得，x2??1,x1?1 求特解，令x1?x2?0，得x3?1

?1??0????? 故?2?k1??1???0? ，其中k1为任意常数.

?2??1?????解方程A2?3??1

?220???A2???2?20?

?440???梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！

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?1??110?220?1??2?????2A,???2?201?0000?1??? ???4402??0000???????故有两个自由变量，令x2??1，由Ax?0得x1?1,x3?0

2?1??1??2??1??2???????求特解?2??0? 故 ?3?k2?1??0? ，其中k2为任意常数.

???0??0??0???????????（Ⅱ）证明：

?1由于1k1?k1k2??22k1?1?11?k2?2k1k2?(2k1?1)(k2?)?2k1(k2?)?k2(2k1?1)

220121?0 故?1,?2,?3 线性无关. 2222（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3 （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值. ?y21??a0???1? 【解析】（Ⅰ） A??0a?1?1a?1?????a|?E?A|?0?10?11?(??a)??a?1??a1??a11??a?1?0?1??a1

?(??a)[(??a)(??a?1)?1]?[0?(??a)]?(??a)[(??a)(??a?1)?2]?(??a)[?2?2a????a2?a?2]19?(??a){[a??(1?2a)]2?}24?(??a)(??a?2)(??a?1)

梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！

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??1?a,?2?a?2,?3?a?1

22（Ⅱ） 若规范形为y1，说明有两个特征值为正，一个为0.则 ?y21) 若?1?a?0，则 ?2??2?0 ，?3?1 ，不符题意

2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合

3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2.

（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求pX?1Z?0；

（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布.

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

1C2?24 ?P(X?1Z?0)?11?.

C3?C39??（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故

1111C3?C3C2?C311P?X?0,Y?0??11?,P?X?1,Y?0??11?C6?C64C6?C66111C2?C2?C3111P?X?2,Y?0??11?,P?X?0,Y?1???11C6?C636C6?C6311C2?C21P?X?1,Y?1??11?,P?X?2,Y?1??0C6?C6911C2?C21P?X?0,Y?2??11?C6?C69

P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0 X Y 0 1/4 1/6 1/36 0 1 2 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！

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1 2 1/3 1/9 1/9 0 0 0 ??2xe??x,x?0（23）（本题满分11 分） 设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，

?0,其他X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本.

(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量

【解析】 （1）由EX?X

而EX???2x2e??xdx?0????2为总体的矩估计量 ?X???Xn2（2）构造似然函数

L?x1,.....,xn;????f?xi;??????xi?e2ni?1i?1nn???xii?1

取对数lnL?2nln???lnxi???xi

i?1i?1nndlnL2nn2n2令 ?0???xi?0???n?n1d??i?1xixi??ni?1i?1故其最大似然估计量为????2. X梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！

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