上海市名校高三数学试卷和答案

2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数

学试卷

一、填空题（每小题4分）

1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B= ． 2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于 ． 3．复数z满足4．函数y=

=1+i，则复数z的模等于 ．

sin2x+cos2x的最小正周期为 ．

5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是 ．

6．已知函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）= ． 7．方程

（θ为参数）所表示曲线的准线方程是 ．

8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 ．

9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ．

10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm） ，则它的侧视图的面积为 cm2．

11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是 ．

12．在△ABC中， =+m?，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则

实数m的取值范围是 ．

13．已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，Sn=（﹣1）nan+

+n﹣3且（an+1﹣p）（an

﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是 ．

14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T?f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）=x是“似周期函数”； ③函数f（x）=2x是“似周期函数”；

④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）

二、选择题（每小题5分）

15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1

16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 17．双曲线

（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（ ）

A．C．

B． D．

18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得

==…=，则n的最大值等于（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

三、解答题 19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．

（1）求证：DC1⊥平面BCD；

（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．

20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）

（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：

=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，

从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q． （1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程； （2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．

22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）． （1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；

（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f﹣1

（x2）|＜|x1﹣x2|；

（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．

23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号

||x||表示，对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=|a，an+1=中n=1，2，3，…

（1）若a=，求数列{an}； （2）当a

时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．

其

（3）若a是有理数，设a= （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．

2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次

月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题4分）

1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B= （﹣1，2） ． 【考点】交集及其运算．

【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．

【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，

B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}， 则A∩B={x|﹣1＜x＜2}， 故答案为：（﹣1，2）．

2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于 4 ． 【考点】二次函数在闭区间上的最值． 【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．

【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]）

∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4， 故答案为：4．

3．复数z满足

=1+i，则复数z的模等于 ．

【考点】复数求模；二阶矩阵． 【分析】由条件求得z=【解答】解：∵复数z满足=， ∴|z|=

故答案为：． 4．函数y=

sin2x+cos2x的最小正周期为 π ．

=2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|． =zi﹣i=1+i，∴z=

=

=2﹣i，

【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． fx）=sin【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为（（2x+从而求得函数的最小正周期 【解答】解：∵函数y=

sin2x+cos2x=

sin2x+

=sin（2x+

）+，

），

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