2024年全国高考理科数学试题及答案-四川卷(2)

bn?4?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?bn?的通项公式；

*（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数

n，都有Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。

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数学（理工农医类）参考答案

一、

选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13） -20 （14）4 （15）90 （16）①②④ 三、解答题

（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。 解：（Ⅰ）

A、B为锐角，sinB?又cos2A?1?2sinA?2310102，?cosB?1?sinB?

10103， 5?sinA?5252，cosA?1?sinA?， 55253105102???? 5105102?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?0?A?B??

?A?B?（Ⅱ）由（Ⅰ）知C?由正弦定理

?4 ????????????????6分

3?2,?sinC?. 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b，c?5b Qa?b?2?1，

?2b?b?2?1，?b?1

?a?2,c?5 ??????????????12分

（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，

考察运用概率只是解决实际问题的能力。

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解：

（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。

设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A， 1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

P(B)?P(A1)?P(A2)

12111C9C21C9C6C21 ?3?3C36C36?927? 3417036? 8536。 85所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是

??????????????????????6分

（Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3

312C3C6C13P(??0)?3?, P(??1)?33?

C984C914213C6C315C615，P(??3)?3?， P(??2)?3?C928C921 所以?的分布列为

? P 0 1 2 3 13155 1484282113155?1??2??3??2， ????????12分 所以E??0?84142821（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础

知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：

（Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC?平面

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ABCD，BC?AB,平面ABEF所以BC⊥平面ABEF 所以BC⊥EF.

平面ABCD?AB，

因为?ABE为等腰直角三角形，AB?AE， 所以?AEB?45 又因为?AEF?45，

所以?FEB?45?45?90， 即EF⊥BE,

因为BC?平面BCE,BE?平面BCE,

BCBE?B

所以EF⊥平面BCE。 ??????????????4分 （Ⅱ）存在点M,当M为线段AE的中点时，PM//平面BCE

取BE的中点N，连接CN,MN，则MN∥＝所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE ??????????????8分 （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于H，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠FHG为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45° 设AB=1,则AE=1,AF=1AB∥＝PC 22. 2FG=AF·sinFAG=

1 213=, 22在Rt△BGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

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GH=BG·sinGBH=

3232·= 224FG2= GH3在Rt△FGH中，tanFHG=

故二面角F-BD-A的大小为arctan解法二:

2. ????????????12分 3(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE?平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

11,). 2211所以EF?(0,?,?),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).

2211EF?BE?0???0,EF?BC?0.

22从而，F(0,?所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE?平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

11 ), P ( 1,,0 ). 2211从而PM=(?1,?,),

22M ( 0,0,

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