八年级数学全等三角形(培优精选难题)[1](2)

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O35．如图35，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD。

求证：AB＝CD。

BD AP36．如图36，已知AB＝AC，

图35（1）若CE＝BD，求证：GE＝GD； （2）若DE＝mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系。（只写结论，不证明）

D

B

CACG图36EQ37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题：

A“如图37（1），已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABCG内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP。”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，证明了QPP△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP，之后，他将点P移到

FC等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝B(2)(1)CP”仍然成立，请你就图（2）给出证明。

图37

38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命已知：如图，在△ABC中，?B＝?C。题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的求证：AB＝AC。辅助线描述如下：

A文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”。

数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。”

（1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

BC（2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。 D 图38

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39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。

AEE'lAElE'AED'lAEFD'BClBC(1)DBC'C(2)图39D'DBC(3)DD(4)

（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′＝ ；

（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数＝ ；

（3）将△ECD沿直线翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于F，求证：AF＝FD′。

40．已知：点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。 （1）如图40（1），若点O在边BC上，求证：AB＝AC； （2）如图（2），若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； （3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

AAOEBO(1)图40FCB(2)C

41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等

C. 一条边与一个锐角对应相等 D. 斜边与一个锐角对应相等

42．如图43，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（ ） A. BE＋CF＞EF B. BE＋CF＝EF

C. BE＋CF＜EF D. BE＋CF与EF的大小关系不确定

AFEBD图43BHEAA'B'C20°CAFDBC图45图44

43．如图44，在△ABC中，E、D分别是边AB、AC上的点，BD、CE交于F，AF的延长线交

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BC于H点，若∠1＝∠2，AE＝AD，则图中的全等三角形共有（ ）对。

A. 3 B. 5 C. 6 D. 7

44．如图45，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°，B点落在B′点位置，A点落在A′点位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝ 。 45．如图46，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4。将矩形ABCD沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为 。

DCCAFPAFBDD'图46AM图47B

46．如图47，设正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA＋

22

PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s－t＝ 。

47．如图48，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BF＝AB，∠DBF＝∠DBC，则∠BFD的度数为 °。

AA'48．如图49，在△ABC和△A′B′C′中，CD、

C′D′分别是∠ACB、A′C′B′的角平分线，

DD'且CD＝C′D′，AB＝A′B′，∠ADC＝∠A′D′C′。你能判断△ABC与△A′B′C′全等吗？如果能，请给出证明；如果不能，请说BCB'明理由。

图49

A49．如图50，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、C1B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3，已知A2C3

222A3＝C2B3＝B2A3，且C2C3＋B2B3＝A2A3，请你证明：A1B1⊥C1A1。

AB2A2B图48CC'C1B1C3CA3A2B2BMB3A1图50B1C3CBB3A1图50C2C2

提示：如图过A3作A3M∥C1A1，过B3作B3M∥AB。连结C2M、A2M。

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△MB3C2为正三角形。四边形MC2C3A2是平行四边形

有MA22＋A3M2＝A2A32 A3M⊥A2M A1B1⊥C1A1。

E

50．如图51，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数。

D提示：连结AE、BD

△ABE≌△FCA △ABD≌△CFB

BAC△AEF △BDF都等腰直角三角形。

F

C 图5151．如图52，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积。

B 提示：旋转△AED至△ABF处。△ACF≌△ACD

D

A E 图52 52．如图53，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分B∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且BF＝CE。求证：FK∥AB。 DBF提示：过E作EG⊥AB于G。 EG△CKF≌△EGB KDF∠CFK＝∠B

AEC K图53

AC

53．已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的3个项点分别在等腰Rt△ABC（∠C＝90°）的三边上。求△ABC直角边长的最大可能值。 解：

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注：其中??b?4ac，为韦达定理：当??0时，一元二次方程有两个实数根；当??0时，一元二次方程有一个实数根；当??0，一元二次方程无实数根。

54．如图54，AA′、BB′、CC′交于点O，且AA′＝BB′＝CC′＝1，∠AOC′＝∠BOA′＝∠COB′＝60°。求证：

B'23（1）S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜；

4（2）S△AOC′、S△BOA′、S△COB′中至少有一个不大于

EB'A3。16C'BCA'图54AOCBFC'DA'

证明：（1）延长C′C至D，取CD＝C′O，延长BB′至E，取B′E＝BO。 则△ODE为正三角形

在ED上取EF＝OA′，连接B′F、CF。 则△EB′F≌△OBA′，△CDF≌△C′OA S△EOD＝

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∴S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜

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