2024山东高考数学理科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

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第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足(z?3)(2?i)?5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为 (A) 2?i (B) 2?i (C)5?i (D)5?i 2． 已知集合A={0,1,2}，则集合B?x?yx?A,y?A中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9

23．已知函数f(x)为奇函数，且当x?0时，f(x)?x???1，则f(?1)? x(A) ?2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

9，底面是边长为3的正三角形.若P为底4面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

5???? (B) (C) (D) 12346?5．将函数y?sin(2x??)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个

8(A) 可能取值为

3??? (B) (C)0 (D) ? 444?2x?y?2?0,?6．在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组?x?2y?1?0,所表示的区域上一动点，则直线OM斜

?3x?y?8?0,?(A)

率的最小值为

11 （D）? 327．给定两个命题p，q.若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的

（A）2 （B）1 （C）?（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 8．函数y?xcosx?sinx的图象大致为

9．过点(3,1)作圆(x?1)2?y2?1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 （A）2x?y?3?0 （B）2x?y?3?0 （C）4x?y?3?0 （D）4x?y?3?0 10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

（A）243 （B） 252 （C） 261 （D）279

212xx(p?0)的焦点与双曲线C2：?y2?1的右焦点的连线交C1于第11．已知抛物线C1：y?2p3一象限的点M。若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p?

332343 （B） （C） （D） 16833212xy12．设正实数x,y,z满足x2?3xy?4y2?z?0，则当取得最大值时，??的最大值为

xyzz9（A）0 （B）1 （C） （D）3

4（A）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．执行右图的程序框图，若输入的?的值为0.25，则输出的n的值为_____.

开始 输入?(??0) F0?1,F1?2,n?1 F1?F0?F1 F0?F1?F0 n?n?1 1??? F1否 是 输出n 结束 14．在区间??3,3?上随机取一个数x，使得x?1?x?2?1成立的概率为______.

????????????????????????????????15．已知向量AB与AC的夹角为120°，且AB?3，AC?2，若A，且P??ABAC?AP?BC则实数?的值为__________.

?0,0?x?1,?lnx?16．定义“正对数”：现有四个命题： ?lnx,x?1,?①若a?0,b?0，则ln?(ab)?bln?a； ②若a?0,b?0，则ln?(ab)?ln?a?ln?b

?a??③若a?0,b?0，则ln()?lna?lnb

b④若a?0,b?0，则ln?(a?b)?ln?a?ln?b?ln2

，

其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分。 17．（本小题满分12分）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a?c?6，b?2，

7。 9（Ⅰ）求a,c的值； （Ⅱ）求sin(A?B)的值。 cosB? 18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P?ABQ中，PB?平面ABQ，BA?BP?BQ，

D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，AQ?2BD,PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

（Ⅰ）求证：AB?GH； （Ⅱ）求二面角D?GH?E的余弦值。

19．（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结

束，除第五局甲队获胜的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结23果相互独立.

（Ⅰ）分别求甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2

分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望。

20．（本小题满分12分）设等差数列?an?的前n项和为Sn，且S4?4S2，a2n?2an?1.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设数列?bn?前n项和为Tn，且 Tn?an?1*c?b??.?（为常数）令(n?N).求数列n2nn2?cn?的前n项和Rn。

x?c（e=2.71828??是自然对数的底数，c?R）. 2xe（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数。

21．（本小题满分13分）设函数f(x)?

x2y2322．(本小题满分13分) 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为，ab2过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设?F1PF2的角平分线PM交C

的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设

11?直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k?0，试证明为定值，并求出这个定值. kk1kk2

参考答案

一、选择题 1．D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得z?55(2?i)5(2?i)?3??3??3?2?i?3?5?i，所2?i(2?i)(2?i)5以z?5?i，选D. 2．C【解析】因为x,y?A,所以x?y??2,?1,0,1,2，即B?{?2,?1,0,1,2},有5个元素，选C. 3．A【解析】因为函数为奇函数，所以f(?1)??f(1)??(1?1)??2，选A. 4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结OP,则?PAO是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为所以3，22313933AA1?,解得?,AO?AD???1.三棱柱的体积为?(3)2?33222422?OP?PAO?ta?nPAO??3,所以，即，选B. AA1?3，即OP?A?A313OAAD?3? 5．B【解析】将函数y=sin（2x +?）的图像沿x轴向左平移?8 个单位，得到函数y?sin[2(x?)??]?sin(2x???)，因为此时函数为偶函数，所以????k?,k?Z，即8442???????4?k?,k?Z，所以选B.

6．C【解析】作出可行域如图

?x?2y?1?0?x?3由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由?得?，即D(3,?1),此时OM的

3x?y?8?0y??1???11??，选C. 斜率为337．A【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而

不必要条件，选A.

8． D【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当x??时，f(?)????0,排除A,选D.

9．A【解析】由图象可知，A(1,1)是一个切点，所以代入选项知，B,D不成立，排除。又AB直线的斜率

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