2024山东高考数学理科试题及答案(2)

为负，所以排除C，选A 10．B【解析】有重复数字的三位数个数为9?10?10?900。没有重复数字的三位数有C9A9有重复数字的三位数的个数为900?648=252，选B. 12?648,所以

p3x。抛物线的焦点为F(0,),双曲线的右焦点

23x0213313为F2(2,0).y'?x，所以在M(x0,，即x0?，所以x0?p，即)处的切线斜率为p332pp3ppp??0p3p43三点F(0,)，F2(2,0)，M(，选D. p,)共线，所以2?62，即p?23630?23p3222212．B 【解析】由x?3xy?4y?z?0，得z?x?3xy?4y。所以xyxy1x4y1?2??，当且仅当，即x?2y时取等号此时??12x4yzx?3xy?4yyx??32x?4y?3yxyxxy2122122121???(1?)?(1?) z?2y2，()max?1. ???zxy2yxyz2yyxyy11?1?2y2y2?4()?1，故选B.

21113．3【解析】第一次循环，F，此时??0.25不成立。第二次循?1?2?3,F?3?1?2,n?210F1311环，F，此时??0.25成立，输出n?3。 ?2?3?5,F?5?2?3,n?310F1511．D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y?,?3?x??1??31?1，x?1,?1?x?214．【解析】设f(x)?x?1?x?2，则f(x)?x?1?x?2?2。由2x?1??3?33?,2?x?3?121??。 解得1?x?2，即当1?x?3时，f(x)?1。由几何概型公式得所求概率为

3?(?3)63????????????????7?15．【解析】向量AB与AC的夹角为120，且|AB?所以|3,A|?C|12???????????????????????????????1??AB?AC?A?BcoAsC120???3?2?3AP?B得，AP?B?0C，即。?由

2??????????????????2??????????2????????????所A以BAC??AB?(??1)AB?AC?0，即AP?B?(?C?AB)(?AC?)A，C?74??9???3(?，解得??。

12b?bb?16．①③④【解析】①当a?1,b?0时，a?1，ln(a)?lna?blna,blna?blna，所以ln?(ab)?bln?a成立。当0?a?1,b?0时，0?ab?1，此时ln?(ab)?0,bln?a?0，即

1?恒成立。②当a?,e?b时，lna(b?)b?lna成立。综上l?nab(?)b?lael?na(b?)?ln?1a?0,le?n?，所以lb?ln?(ab)?ln?a?ln?b不成立。③讨论a,b的取值，

可知正确。④讨论a,b的取值，可知正确。所以正确的命题为①③④。

217．解：（Ⅰ）由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得b??a?c??2ac(1?cosB)，

27，所以ac?9，解得a?3，c?3. 942, （Ⅱ）在△ABC中，sinB?1?cos2B?9asinB22由正弦定理得 sinA?， ?b312因为a?c，所以A为锐角，所以cosA?1?sinA?

3102. 因此 sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?2718．解：（Ⅰ）证明：因为D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP的中点， 所以EF∥AB,DC∥AB，所以EF∥DC， 又EF?平面PCD，DC?平面PCD， 所以EF∥平面PCD，

又EF?平面EFQ,平面EFQ?平面PCD?GH， 所以EF∥GH， 又EF∥AB， 所以AB∥GH.

（Ⅱ）解法一：在△ABQ中, AQ?2BD,AD?DQ,

所以?ABQ=90?，即AB?BQ,因为PB?平面ABQ,所以AB?PB， 又BP?BQ?B，所以AB?平面PBQ，由（Ⅰ）知AB∥GH,

所以GH?平面PBQ，又FH?平面PBQ，所以GH?FH，同理可得GH?HC， 所以?FHC为二面角D?GH?E的平面角，设BA?BQ?BP?2,连接PC， 在Rt△FBC中，由勾股定理得，FC?2， 在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC?5，

又a?c?6，b?2，cosB?又H为△PBQ的重心，所以HC? 同理 FH?15 PC?335, 355??2499cos?FHC???在△FHC中，由余弦定理得，

552?94即二面角D?GH?E的余弦值为?.

5解法二：在△ABQ中，AQ?2BD,AD?DQ,

所以?ABQ?90，又PB?平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BA?BQ?BP?2，则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0)，C(0,1,0)P(0,0,2),,所以????????????????EQ?(?1,2,?1),FQ?(0,2,?1),DP?(?1,?1,2),CP?(0,?1,2),

??设平面EFQ的一个法向量为m?(x1,y1,z1)，

由m?EQ?0，m?FQ?0,

??????????????x1?2y1?z1?0

2y?z?0?11??取y1?1，得m?(0,1,2).

得??设平面PDC的一个法向量为n?(x2,y2,z2) ??????????由n?DP?0，n?CP?0, ??x2?y2?2z2?0 得???y2?2z2?0??????m?n4?取z2?1，得n?(0,2,1).所以cosm,n?????

mn5因为二面角D?GH?E为钝角，所以二面角D?GH?E的余弦值为?4. 519．解：（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件A“甲队以3：1胜利”为事件A2，“甲队以3：2胜1，利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P(A1)?()?8， 272228P(A2)?C32()2(1?)??，

333272214P(A3)?C41()2(1?)2??

33227323所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是

884，，； 272727（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以

2214P(A4)?C41(1?)2()2?(1?)?

33227由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得

16P(X?0)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?,

274P(X?1)?P(A3)?,

274P(X?2)?P(A4)?,

273P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?

27故X的分布列为

0 1 2 3 X

P 16443 27272727164437?1??2??3?? 所以EX?0?27272727920．解：（Ⅰ）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，

由S4?4S2，a2n?2an?1得

4a1?6d?8a1?4d?， ?a?(2n?1)?2a?2(n?1)d?1?11解得，a1?1，d?2

因此 an?2n?1(n?N*)

n（Ⅱ）由题意知：Tn???n?1

2nn?1所以n?2时，bn?Tn?Tn?1??n?1?n?2

222n?21n?1故，cn?b2n?2n?1?(n?1)() (n?N*)

24101112131n?1所以Rn?0?()?1?()?2?()?3?()?????(n?1)?()，

4444411112131n?11n则Rn?0?()?1?()?2?()?????(n?2)?()?(n?1)?() 44444431112131n?11n两式相减得Rn?()?()?()?????()?(n?1)?()

44444411n?()4?(n?1)(1)n ?4141?413n?1整理得Rn?(4?n?1)

9413n?1所以数列数列?cn?的前n项和Rn?(4?n?1)

9421．解：（Ⅰ）f'(x)?(1?2x)e?2x，

1由f'(x)?0，解得x?，

21当x?时，f'(x)?0，f(x)单调递减

211所以，函数f(x)的单调递增区间是(??,)，单调递减区间是(,??)，

2211?c 最大值为f()?22ex（Ⅱ）令g(x)?lnx?f(x)?lnx?2x?c x?(0,?? )

ex（1）当x?(1,??)时，lnx?0，则g(x)?lnx?2x?c，

e2x'?2xe所以，g(x)?e(?2x?1)

xe2x因为2x?1?0，?0 所以 g'(x)?0

x 因此g(x)在(1,??)上单调递增.

（2）当x?(0,1)时，当时，lnx?0，则g(x)??lnx?'?2xx?c， e2xe2x所以，g(x)?e(??2x?1)

x因为e2x?(1,e2)，e2x?1?x?0，又2x?1?1

e2x所以??2x?1?0 所以 g'(x)?0

x 因此g(x)在(0,1)上单调递减. 综合（1）（2）可知 当x?(0,??)时，g(x)?g(1)??e?2?c，

当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)没有零点， 故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为0；

当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)只有一个零点， 故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为1； 当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时， ①当x?(1,??)时，由（Ⅰ）知

x1?1?c?lnx?(e?c)?lnx?1?c e2x2要使g(x)?0，只需使lnx?1?c?0，即x?(e1?c,??)； ②当x?(0,1)时，由（Ⅰ）知

x1g(x)??lnx?2x?c??lnx?(e?1?c)??lnx?1?c；

e2要使g(x)?0，只需使?lnx?1?c?0，即x?(0,e?1?c)；

所以当c??e?2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为2； g(x)?lnx?综上所述：

当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为0； 当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为1； 当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为2.

222xyb22．解： （Ⅰ）由于c2?a2?b2，将x??c代入椭圆方程2?2?1得y??aabc2b23 由题意知?1，即a?2b2 又e??aa2x2所以a?2，b?1 所以椭圆方程为?y2?1

4??????????????????????????????????????PF1?PMPF2?PMPF1?PMPF2?PM2?????=??????????,????=?????,设P(x0,y0)其中x0（Ⅱ）由题意可知：?????4，将|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|232向量坐标代入并化简得：m（4x0?4， ?16)?3x0?12x0，因为x0所以m?333x0，而x0?(?2,2)，所以m?(?,) 422（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： x0xy0y0x11?y0y?1，所以k??0，而k1?，代入中得 ,k2??44y0kk1kk2x?3x?3x?3x0?311???4(0?)??8为定值。 kk1kk2x0x0

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