全国初中数学竞赛各省市试题汇编 - 图文(4)

得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（10分）（2013?南通）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏． 小明画出树状图如图所示：

小华列出表格如下：

第一次 第二次 1 2 3 4 回答下列问题：

（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；

（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 （3，2） ；

（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？ 考点： 列表法与树状图法 分析： （1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断； （2）根据横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次可以得到答案； （3）根据树状图和统计表分别求得其获胜的概率，比较后即可得到答案． 解答： 解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现， ∴小明的实验是一个不放回实验， （2）观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次， - 16 -

1 2 3 4 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （3，1） ① （3，3） （3，4） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3）理由如下： ∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种， ∴概率为：=； ∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种， ∴概率为：∵＞ ∴小明获胜的可能性大． 故答案为不放回；（3，2）． 点评： 本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率=．

23．（8分）（2013?南通）若关于x的不等式组求实数a的取值范围．

考点： 一元一次不等式组的整数解 分析： 首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值． 解答： 解：解+＞0，得x＞﹣； 恰有三个整数解，

=， 解3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得x＜2a， ∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a． ∵关于x的不等式组∴2＜2a≤3， 解得1＜a≤． 恰有三个整数解， 点评： 本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

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24．（8分）（2013?南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求证：四边形BCDE是矩形．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质 专题： 证明题． 分析： 求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可． 解答： 证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD， ∵在△BAE和△CAD中 ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA，BE=CD， ∵DE=BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA， ∴∠BED=∠CDE， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180°， ∴∠BED=∠CDE=90°， - 18 -

∴四边形BCDE是矩形． 点评： 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

25．（8分）（2013?南通）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA=

cm，求AC的长．

考点： 切线的性质 分析： 根据直径求出∠ACB=90°，求出∠B=30°，∠BAC=60°，得出△AOC是等边三角形，得出∠AOC=60°，OA=AC， 在Rt△OAP中，求出OA，即可求出答案． 解答： 解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=2∠B， ∴∠B=30°，∠BAC=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°，AC=OA， ∵PA是⊙O切线， ∴∠OAP=90°， 在Rt△OAP中，PA=6cm，∠AOP=60°， - 19 -

∴OA=∴AC=OA=6． ==6， 点评： 本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

26．（8分）（2013?南通）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息1：销售A种产品所获利润（y万元）与销售产品（x吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用 分析： （1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可； （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答． 解答： 解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6， ∴解得， ， 所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x； （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元， 则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6， ∵﹣0.1＜0， ∴当m=6时，W有最大值6.6， ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最- 20 -

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