（2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB，利用等积法可得三棱锥D﹣ACG的体积；
（3）利用等体积求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．
解答： （1）证明：过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，则 ∵ABCD是正方形， ∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABG， ∴BC⊥面ABG， ∵AG?面ABG， ∴BC⊥AG， 又BH⊥面AGC， ∴BH⊥AG， 又∵BC∩BH=B， ∴AG⊥面AGD， ∴面AGD⊥面BGC；
（2）解：由（1）知AG⊥面BGC， ∴AG⊥BG， 又AG=BG，
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB ∴GE⊥面ABCD
∴VD﹣ACG=VG﹣ACD=GE?S△ACD=??2a?（2a）2
=； （
3
）
解
：
记
三
棱
锥
内
切
球的，
△DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=
，
△ACG中，AC=2
a，GC=
a，AG=a，S△ACG=，
△DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=
，
△ADC中，S△DAC=2a2
由，
可得r=
．
半
径
为
r
，
点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积，其中（1）要熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，属于中档题． 21．（12分）已知椭圆的两焦点为
，
，离心率
．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题： 综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法．
分析： （1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为
，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程． （2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短
轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可． 解答： 解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）
则，，…（2分）∴a=2，b=a﹣c=1…（3分）
．…（4分）
，消去y，得5x+8mx+4（m﹣1）=0，…（6分）
2
2
222
∴所求椭圆方程为（2）由
则△=64m﹣80（m﹣1）＞0得m＜5（*） 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
，y1﹣y2=x1﹣x2，…
222
（7分）
…（9
分） 解得.∴
，满足（*） ．…（10分）
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直
或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方 程为，由，得A，…（11分）
∴，…（12分）
用代替上式中的k，得，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k）=1+4k，…（13分） ∵k＜0， ∴解得：k=﹣1或
，
22
故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）
点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．
百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库重庆一中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（文科） Word版含(4)在线全文阅读。
相关推荐：
