江苏省盐城中学2024届高三上学期期末考试数学试题及详细答案

一、填空题：

1.已知集合 A?{?1,2,3,4}，B?{x?2?x?3}，则 A?B?. 【答案】{?1,2,3}

【解析】利用交集定义直接求解.A、B中含有相同的元素-1，2，3.故答案为{?1,2,3} 2.复数z?(1?2i)(3?i)，其中i为虚数单位，则 z的虚部为 【答案】5 【解析】z?(1?2i)(3?i)?3?i?6i?2?5?5i，故z的虚部为5.

22xy3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线-?1的焦距为 169

.

.

【答案】10

【解析】由方程知a2?16,b2?9，c?a2?b2?5，焦距为2c?10，故答案为10. 4.某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了 95 人，则该校的男生数是 .

S←1 I←1 【答案】630 WhileI<5 20011S←S+2 【解析】抽取比例为?，女生人数为95??570，

120066I←I+1 End While 男生人数为1200?570?630人.

Print S 5.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 ． 【答案】9

【解析】由I知程序循环了4次，则S?1?2?2?2?2?9.

6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为 . 【答案】

1 6【解析】等可能事件共有：{1,1}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}、{1,6}、 {2,1}、{2,2}、{2,3}、{2,4}、{2,5}、{2,6}、 {3,1}、{3,2}、{3,3}、{3,4}、{3,5}、{3,6}、 {4,1}、{4,2}、{4,3}、{4,4}、{4,5}、{4,6}、 {5,1}、{5,2}、{5,3}、{5,4}、{5,5}、{5,6}、 {6,1}、{6,2}、{6,3}、{6,4}、{6,5}、{6,6} 共36种. 点数之和不小于10的事件有：{4,6}、{5,5}、{5,6}、{6,4}、{6,5}、{6,6} 共6种. 因此，出现向上的点数之和不小于10的概率为

61?. 3667.在等差数列{an}中,若a3 ?a5 ?a7 ?9,则其前9项和S9 的值为 【答案】27 【解析】利用中项公式，由a3?a5?a7?9得2a5?a5?9,a5?3.

.

S9?a1?a2???a9?9a5?27.

8.若log4(a?4b)?log2ab，则a?b的最小值是 【答案】9

【解析】因为3a?4b?0,ab?0，所以a?0,b?0. 因为log4(a?4b)?log2ab，所以log4(a?4b)?log4(ab)， 所以a?4b?ab,a?0,b?0,a?4，所以b?a?a?0，a?4.

a?4．

a?b?a?令a?4?aa?4?444?a??a?4??5?2(a?4)??5?9① a?4a?4a?4a?44，则 (a?4)2?4,(a?6)(a?2)?0,a?6,a?2?（舍去）4a?4因此，当且仅当a?6时，①式取等号.

故a?b的最小值为9.

22xy9 .已知椭圆 C1 : ?2?1(a ?b?0)与圆C2:x2?y2?b2，若椭圆C1 上存在点P，由2ab点P向圆C2所作的两条切线PA,PB且?APB?60?，则椭圆C1的离心率的取值范

围是

.

?3?【答案】?,1???2?

【解析】连接OA,OB,OP.

因为?APB?60?，所以?APO??BPO?30?.

y A P O OAb1??， 在直角三角形OAP中，sin?APO?OPOP2所以OP?2b.

B x c3c23因为b?OP?a，所以2b?a，4b?a，4(a?c)?a，2?,所以e??.

a4a222222又因为0?e?1，所以3?e?1. 2?3?

故答案为?. ,1??

?2?

?，10.设m,n是两条不同的直线，?，?是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正 确

命题的序号是 ．

①若m⊥?，n∥?，则m⊥n

②若?∥?，?∥?，m⊥?，则m⊥??

③若???，???，则???； ④若????m，??

??n，m∥n，则?∥?.

【答案】①② 【解析】反例法：将三棱柱放于桌面，则两侧面?、?都垂直于桌面?，然两桌面?、?

不垂直，因此③错；

将正方体放桌面，相邻两侧面?、?与底面交线m、n垂直，④错.

3?sin??,??(,?)且sin(???)?cos?，则tan(???)? . 11.已知52【答案】-2

3?【解析】因为sin??,??(,?)，

52sin?34??. 所以cos???1?sin2???,tan??cos?45因为sin(???)?cos?,

43所以sin?cos??cos?sin??cos?，?sin??cos??cos?，?2sin??cos?，

551所以tan???

213??tan??tan?tan(???)??24??2.

1?tan?tan?1?1?3242m?? g(x)其中e为自然对数的底数，若函数f(x)与g(x)e，x的图像恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是 ．

e?1【答案】m?0或m??2e

21【解析】因为f(x)?x?lnx?，所以x?0，f'(x)?1??0

ex12.已知函数f(x)?x?lnx?所以f(x)为单调增函数.

图像为一直线，与x轴正半轴重合，与f(x)恰有一个公共交点； 1?当m?0时，g(x)?0，

2?当m?0时，g(x)图像为双曲线，在一、三象限，与f(x)恰有一个公共交点； 2?当m?0时，g(x)图像为双曲线，在二、四象限，当f(x)与g(x)相切时恰有一个公共

交点.此时，f(x)与g(x)的函数值及切线斜率相等.

m因为g'(x)??2，

x2m?x?lnx??①??ex， 所以交点满足方程??1?1??m②?x2?x22m??x?1,代入①得x?lnx???x?1，2x?lnx?1??0，

eex1解得x?.

e由②得

代入②式得m??1?e 2e 综上所述，实数m 的取值范围是12.m?0或m??

e?1 e2

13.已知函数f(x)?x2?(1?a)x ?a，若关于x的不等式f(f(x))?0的解集为空集，则实数a的取值范围是 . 【答案】[?3,22?3]

1?a2a2?2a?1【解析】函数f(x)?x?(1?a)x?a?(x?a)(x?1)?(x?. )?2421?当a??1时，f(x)?(x?1)?0，所以f(f(x))?0，不等式f(f(x))?0的解集为空集.

2由f(x)?0得?1?x?a，则由f(f(x))?0可得?1?f(x)?a,而f(x)的值域2?当a??1时，

a2?2a?1a2?2a?1为[?,??),所以f(f(x))?0的解集要为空集，需满足a??,

44即a2?6a?1?0，解得?1?a?22?3;

a2?2a?1,解得?3?a??1; 3?当a??1时，由f(x)?0得a?x??1，同理可得?1??4综上所述，a的取值范围是?3?a?22?3.

14.已知?ABC的周长为22,且BC,CA,AB 成等比数列，则 .

4(3?25)4(47?245),)561

【解析】如图，令a,b,c的公比为q，

【答案】(则a?b?c?a?aq?aq2?22,a?22，

1?q?q2C b A a

B

?a?aq?aq2?1?q?q25?15?1??又由?得，解得① ?q??2222??aq?aq?a??q?q?15?115?1212??, ??，即2q2q5?15?11所以5?1?q??5?1①

q变换得c a2?c2?b2cosB?

2ac????????a2?c2?b24(q4?q2?1)BA?BC?accosB??2(q2?q?1)2② 124(q??1)????????4(t2?3)????????1q2整理得BA?BC?，令t?t?，则BA?BC?1(t?1)2 t2(q??1)q4(t2?3)f(t)?,t?(5?1,5?1),

(t?1)28t(t?1)2?4(t2?3)?2t16t(t?1)f'(t)??(t?1)4(t?1)4

因为t?1，所以f'(t)?0，

所以f(t)在区间(5?1,5?1)单调递增.

4[(5?1)2?3]4(3?25)4[(5?1)2?3]4(47?245)fmin(x)??,fmax(x)??,

561(5?1?1)2(5?1?1)2????????4(3?25)4(47?245),) 因此BA?BC的取值范围是(561

15.如图，在四棱锥P?ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC?2，

?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD上的点． 求证：（1）AD//平面PBC；

（2）平面EAC⊥平面PCD. 证明：（1）因为AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC， 所以AD∥平面PBC.

（2）因为PC?底面ABCD，AC?底面ABCD P 所以PC?AC.

在平面ABCD内，过C作CF交AD于F. 又因为AD∥BC，所以四边形ABCF为平行四边形①

E 因为?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形

所以AB?BC,AB?BC② C 由①②知四边形ABCF为正方形

所以?ACF?45?,CF?DF,AF?CF?BC?2, D A F DF?AD?AF?2,

所以?CFD为等腰直角三角形， 所以?FCD?45?,

?ACD??ACF??FCD?90?，AC?CD

?PC?AC?因为?AC?CD所以AC?平面PCD,

?PC?CD?C?B 又因为AC?平面EAC，所以平面EAC?平面PCD.

?16. 如图,在?ABC中,B =，BC =2,点D 在边AB 上,AD?DC,DE?AC，E为垂

3足.

（1）若△BCD的面积为A 3,求CD的长; 36（2）若ED?,求角A的大小.

2解：（1）由已知得S?BCD?2BC?BDsinB?3,

?BC?2,B?又3， 所以BD?322??. 3BCsinB328D 3E C

1B 222在?BCD中，由余弦定理得CD?BC?BD?2BC?BD?cosB?9，

27CD?.所以3

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