2024年12月09日1640524593的初中数学组卷八上几何难题(6)

（2）先由平行线的性质得到∠B=∠BOD，然后根据∠BOD是三角形OPD的一个外角，由此可得出三个角的关系； （3）根据三角形外角性质得出∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM=360°即可求出答案．

【解答】解：（1）如图1，过P点作PO∥AB，

∵AB∥CD，

∴CD∥PO∥AB，

∴∠BPO=∠B，∠OPD=∠D， ∵∠BPD=∠BPO+∠OPD， ∴∠BPD=∠B+∠D． ∵∠B=50°，∠D=30°，

∴∠BPD=∠B+∠D=50°+30°=80°； （2）∠B=∠D+∠BPD， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，

∵∠BOD=∠D+∠BPD， ∴∠B=∠D+∠BPD；

（3）∵∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F， 又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 故答案为：360°．

【点评】本题考查了平行线性质，三角形外角性质，四边形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和猜想能力． 15．（2013?烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系式 QE=QF ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】压轴题．

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【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可；

（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF， 理由是：如图1，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°， 在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF，

故答案为：AE∥BF；QE=QF．

（2）QE=QF，

证明：如图2，延长FQ交AE于D， ∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD， 即QE=QF．

（3）（2）中的结论仍然成立， 证明：如图3，

延长EQ、FB交于D， ∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中，

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，

∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP，

∴FQ是斜边DE上的中线， ∴QE=QF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 16．（2013?昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

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（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可； （3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可． 【解答】（1）证明：∵菱形AFED， ∴AF=AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD，

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD， 理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF，

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC， 即AC=CF﹣CD．

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（3）AC=CD﹣CF．理由是： ∵∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠DAB=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴CF=BD，

∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC， 即AC=CD﹣CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中． 17．（2012?山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1： 等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） ； 依据2： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ．

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

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