2024级高三10月月考数学试卷(2)

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（2）x?(?1,1)时递增，(1,2)递减

1f(0)?0,f(1)?ln2?,f(2)?ln3?1，…………………6分

41所以，f（x）最大值=f(1)?ln2?, f（x）最小值=f(0)?0。………4分

420．（本小题满分15分） 【解】由题意得

x28?124=8?x（0

x4x4

于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2（当（

3162x）=（+2）x+≥46?42．…………………6分

2x2316+2）x=,即x=8－42时等号成立．………………4分 2x 此时, 用料最省．

21．（本小题满分18分）

【解】（1）f(x)?3x?2x?2ax?a………………5分

'2??4(a2?a?1)?0，所以f(x)有两个不同的极值点x1,x2。…………5分

（2）伟大定理…………………………………………………………4分 解不等式………………………………………………………………4分 20．（本小题12分）

2解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2(1?a)x?a.

令f?(x)?0得方程

3x2?2(1?a)x?a?0.

因??4(a?a?1)?4a?0. 故方程有两个不同实根x1,x2.

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不妨设x1?x2，由f?(x)?3(x?x1)(x?x2)可判别f?(x)的符

号如下： 当x?x1时，f?(x)?0； 当x1?x?x2时，f?(x)?0； 当x?x2时，f?(x)?0.

因此x1是极大值点，x2是极小值点。

（Ⅱ）因f(x1)?f(x2)?0，故得不等式 x3?x3?a)(x2212?(11?x2)?a(x1?x2)?0.

即(x1?x2)[(x1?x2)2?3x1x2]?(1?a)[(x1?x2)2?2x1x2]?a(x1?x2)?0.

又由（Ⅰ）知

???x1?x2?2

?3(1?a), ???x1x2?a3. 代入前面不等式，两边除以(1?a)，并化简得

2a2?5a?2?0.

解不等式得a?2或a?12（舍去）

因此，当a?2时，不等式f(x1)?f(x2)?0成立。

21．（本小题12分） 解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为ky?x?2p

又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足

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?ky?x?2p ?2?y?2px

消去x得y2?2pky?4p2?0 由此得

?yA?yB?2pk, ?2?yAyB??4p.?xA?xB?4p?k(yA?yB)?(4?2k2)p,? ?(yAyB)22?4p.?xAxB?2(2p)?????????因此OA?OB?xAxB?yAyB?0,即OA?OB.

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