2024年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线(4)

58x28x2【答案】解: (Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?，椭圆方程为：??1.

853222222（x?c,y),QF2?(c,?m). (Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?由1?a?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).

2?m(c?x)?ycF1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得： ?c(x?c)?my?0??x2y2?1?2?2a1?a???(x?c)(x?c)?y2?x2?y2?c2.联立?x2?y2?c2解得

?222a?1?a?c???2x22y222?2??1?x?(y?1).?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.

39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切

并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

【答案】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.

设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R. [来源:www.shulihua.net]

(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),

x2y2??1(x??2). 其方程为43(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)?y?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23. 当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则

0022|QP|R=,可求得

|QM|r1

Q(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??2. 4x2y222??1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得当k=时,将y?x?2代入4344x1,2=18?4?62,∴|AB|=1?k2|x1?x2|=.

77218时,由图形的对称性可知|AB|=, 4718或|AB|=23. 7当k=-综上,|AB|=

x2y240．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦

ab点为F, 离心率为343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若????????????????AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

【答案】

x2y23141．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方

ab22程为x=4.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由P(1,2319)在椭圆上得,2?2?1 ① 2a4b2依题设知a?2c,则b?3c ② ②代入①解得c?1,a?4,b?3.

222x2y2故椭圆C的方程为??1.

43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③

代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

2222228k24(k2?3) ④ x1?x2?2,x1x2?4k?34k2?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).

333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有

y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23?2k?? ⑤

2x1x2?(x1?x2)?1

8k2?2234k?3④代入⑤得k1?k2?2k???2k?1, 8k224(k2?3)??14k2?34k2?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.

2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1令x?4,求得M(4,3y0), x0?12y0?x0?1,

2(x0?1)从而直线PM的斜率为k3?y0?y?(x?1)?x?15x?83y0?0,), 联立? ,得A(0222x0?52x0?5?x?y?1?3?4则直线PA的斜率为:k1?2y0?2x0?52y0?3,直线PB的斜率为:k2?,

2(x0?1)2(x0?1)所以k1?k2?2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,

2(x0?1)2(x0?1)x0?1故存在常数??2符合题意.

42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点

F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程;

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两2(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

2【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由0?c?22?32结合c?0,解得c?1. 2所以抛物线C的方程为x?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?22121x,求导得y??x 42x12x2211,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2, 4422

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