2024年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线(6)

48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线

x2y2直线y?2与C的两个交点间C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2,离心率为3，ab的距离为6. (I)求a,b;;

(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且AF1?BF1,证

AB、BF2成等比数列. 明:AF2、

【答案】

49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）

y?4x 的焦点为F. 已知抛物线C：2????????(1)点A、 P满足AP??2FA.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;

(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y?2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

???? y?yA), yA),则AP?(x?xA，【答案】(1)设动点P的坐标为(x， y),点A的坐标为(xA，???? yA), 因为F的坐标为(1， 0),所以FA?(xA?1，???????? y?yA)??2(xA?1， yA). 由AP??2FA得(x?xA，?x?xA??2(xA?1)?xA?2?x即? 解得?

y?y??2yy??y?AA?A代入y?4x,得到动点P的轨迹方程为y?8?4x.

(2)设点Q的坐标为(t， 0).点Q关于直线y?2x的对称点为Q?(x， y),

2231??yx??t?????x?t?52则? 解得? ?y?x?t?y?4t??5?2?若Q?在C上,将Q?的坐标代入y?4x,得4t?15t?0,即t?0或t??所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0， 0)和(?2215. 415， 0). 4

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