大学物理习题解答(8)

第六章 振动

P176．

6．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：

（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．

[解答]（1）设物体的简谐振动方程为

x = Acos(ωt + υ)， 其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．

当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosυ = 0.5，

因此

υ = ±π/3．

物体的速度为

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + υ)． 当t = 0时，

v = -ωAsinυ，

由于v > 0，所以sinυ < 0，因此

υ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当t = T/4时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为

v = -πAsin(π/2 – π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为

a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + υ) = -π2Acos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m

时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

36

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此 cos(πt2 - π/3) = 0，

可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2，

可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Γt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此 cos(πt - π/3) = 0，

可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = Acos(ωt + υ)，

当t = 0时，可得

υ = ±arccos(x0/A)，（-π < υ≦π）， 初位相的取值由速度决定． 由于

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + υ)， 当t = 0时，

v = -ωAsinυ，

当v > 0时，sinυ < 0，因此 υ = -arccos(x0/A)；

当v < 0时，sinυ > 0，因此

υ = arccos(x0/A)． 可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，υ = 0；当初位置x0 = -A时，υ = π．

6．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为

T；

（2）振动表达式；

（3）画A/2 出旋转矢量O 图．

[解答]方法一：由位相求时间．

x A cosυ = 0.5，

a b c d e 图6.2

t 因此

υ = ±π/3；

由于零时刻的位相小于a点的位相，所以

υ = -π/3， 因此振动表达式为

x?Acos(2?tT??3)．

另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程． （3）如图旋转矢量图所示．

方法

x 二：由时间A 求位相．将

A/2 曲线反方f O 向延长与t

轴相交于f点，由于xf = 0，根据

运动方程，可得

cos(2?tT??3)?0

（1）设曲线方程为

x = AcosΦ，

其中A表示振幅，Φ = ωt + υ表示相位．

由于xa = A，所以 cosΦa = 1，

因此 Φa = 0． 由于xb = A/2，所以

cosΦb = 0.5，

因此 Φb = ±π/3；

由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

Φb = π/3． 由于xc = 0，所以

cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此

Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为

Φd = 2π/3，Φe = π．

c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为 ta = T/6． 到达b点的时刻为 tb = 2ta = T/3．

到达c点的时刻为

tc = ta + T/4 = 5T/12．

到达d点的时刻为

td = tc + T/12 = T/2． 到达e点的时刻为

te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为

x = Acos(ωt + υ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以

d e c b a O υ A x a b c d e t 所以

2?tfT??3???2．

显然f点的速度大于零，所以取负值，解得

tf = -T/12．

从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为 ta = T/4 + tf = T/6，

其位相为

?a?2?taT??3?0．

由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．

37

6．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．

（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；

（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s速度向上运动，求运动方程．

[解答]当物体平衡时，有

Mg – kx0 = 0，

所以弹簧的倔强系数为

k = Mg/x0，

物体振动的圆频率为

??k/M?-1

-2

置．

[解答]（1）比较简谐振动的标准方程

x = Acos(ωt + υ)，

可知：圆频率为

ω =8π， 周期

T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，

振幅为

A = 0.1(m)，

初位相为

υ = 2π/3． （2）速度的最大值为 vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s)； 加速度的最大值为

am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω，

最大回复力为

f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为

E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)， 平均动能和平均势能为

Ek?Ep= kA/4 = mωA/4 = 1.58×10(J)．

2

2

2

-2

2

-1

s)． g/x0= 10(rad·-1

设物体的运动方程为

x = Acos(ωt + υ)．

（1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为

A?10(m)； x0?(v0/?)?|x0|= 8.0×

22-2

由于初位移为x0 = -A，所以cosυ = -1，初位

相为

υ = π．

运动方程为

x = 8.0×10-2cos(10t + π)． （2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为 A?x0?(v0/?)= |v0/ω| = 6.0×10-2(m)；

22（4）如图所示，当t为1，

2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．

t=1,2,10s A O x 由于cosυ = 0，所以υ = π/2；运动方程为

x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．

6．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?3)的规

6．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．

[解答]设它们的振动方程为

x = Acos(ωt + υ)，

当x = A/2时，可得位相为

ωt + υ = ±π/3．

由于它们在相遇时反相，可取 Φ1 = (ωt + υ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + υ)2 = π/3，

它们的相差为

ΓΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，

38

律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；

（2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；

（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位

或者

ΓΦ` =

2π –ΓΦ = 4π/3．

矢量图

如图所示．

A O x 的支持力

N = G + F = m(g +am)

= m(g +ω2A) = 12.96(N)．

（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为

N = m(g - ωA)．

当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为

A = g/ω = 3.2×10(m)． （3）振幅不变时，频率为 ???2π2

-2

2

6．6 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m =

-2714

1.68×10kg，振动频率v = 1.0×10Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算：

（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量． [解答]（1）氢原子的圆频率为

ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为

vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．

（2）氢原子的能量为

E?12210(J)． mvm= 3.32×

?12?gA= 3.52(Hz)．

6．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l1和l2，倔强系统分别为k1和k2，A和B间距为L，小球的质量为m．

（1）试确定小球的平衡位置；

（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否

A k1 m 图6.8 k2 B -20

6．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：

图6.7 为简谐振

动？振动周期为多少？

[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L > l1 + l2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x1和x2，因此得方程

L = l1 + x1 + l2 + x2；

小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即

k1x1 = k2x2．

将x2 = x1k1/k2代入第一个公式解得

x1?k2k1?k2(L?l1?l2)．

（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；

（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？

（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？

[解答]（1）重物的圆频率为 ω = 2π/T = 4π，

其最大加速度为

am = ωA，

合力为

F = mam，

方向向上．

重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以合力为

F = N – G．

重物对平板的作用力方向向下，大小等于板

2

小球离A点的距离为

L1?l1?x1?l1?k2k1?k2(L?l1?l2)．

（2）以平衡位置为原点，取向右的方

向为x轴正方向，当小球向右移动一个微小

39

距离x时，左边弹簧拉长为x1 + x，弹力大小为

f1 = k1(x1 + x)，

方向向左；右边弹簧拉长为x1 - x，弹力大小为

f2 = k2(x2 - x)，

方向向右．根据牛顿第二定律得 k2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，

利用平衡条件得

mdxdt22A?v0m?Mk= 5×10(m)．

-2

（2）振动的圆频率为

??km?M= 40(rad·s)．

-1

取木块静止的位置为原点、向右的方向为位

移x的正方向，振动方程可设为

x = Acos(ωt + υ)．

当t = 0时，x = 0，可得

υ = ±π/2；

由于速度为正，所以取负的初位相，因此振

动方程为

x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．

6．10 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量

?(k1?k2)x?0，

可见：小球做简谐振动．

小球振动的圆频率为

??k1?k2m，

其周期为

T?2πk x1 x 2m M x 图6.10

O ??2?mk1?k2．

为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落h 与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．

6．9 如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压M k m v 缩而作简谐振动．设弹簧的

图6.9 倔强系数k =

8×10N·m，木块的质量为4.99kg，不计桌

面摩擦，试求：

（1）振动的振幅； （2）振动方程．

[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即

mv = (m + M)v0． 解得子弹射入后的速度为

v0 = mv/(m + M) = 2(m·s)，

这也是它们振动的初速度．

子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得

(m + M) v02/2 = kA2/2，

所以振幅为

-1

3

-1

[解答]物体落下后、碰撞前的速度为

v?2gh，

物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为

v0?mm?Mv?mm?M2gh，

这也是它们振动的初速度．

设振动方程为

x = Acos(ωt + υ)，

其中圆频率为

??km?M．

物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则

x1 = Mg/k．

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