2024数学毕业论文参考的例文（最终版）(2)

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过程中，有两个相关的变量，它们都是时间t的函数，给定某一变量在某一个时刻的速度，求另外一个变量的速度.

在应用的过程中，我们需要从原始数据中找出必要的关系.有些关系直接给出的，有些是需要推导才能得出的.一般情况下分为以下五个步骤[4]：

⑴找出变量，标上符号； ⑵用数学的专业术语表达出问题；

⑶将变量之间的关系用方程式的方式表达出来； ⑷利用复合函数求导法则找出导数之间的关系； ⑸代入数据，求解出答案.

【例1】 有一个半球面形状的碗，半径为a厘米，正在以5?a3立方厘米/分钟的稳定流量

1注入水流.当水的深度已达到a厘米时，试求水面高度上升的速率为多少？

31解：设水深达h厘米时，体积为V立方厘米，则V??h2(3a?h)，故

3dV1dh3. ??(6ah?3h2)??2dh3dV?(6ah?3h)又

dV?5?a3，所以 dtdhdhdV33??5?a. 2dtdVdt?(6ah?3h)当h?1dha时，?9a，即水面高度上升的速率为每分钟9a厘米. 3dt3 高等数学中极值与最值的应用 3.1 函数极值与最值的相关概念

定义2[5] 设函数f在点x0附近有定义，若对点x0附近的一切x(x?x0)，恒有

f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0)).

则称f(x0)为f的极大（小）值，并称f在点x0取到极大（小）值，点x0称为f的极大（小）点.

定理1 设f在[a,b]上连续，在(a,b)内有有限多个极值f(x1),?,f(xn),记

x?[a,b]maxf(x)?max{f(x1),...,f(xn),f(a),f(b)}

x?[a,b]minf(x)?min{f(x1),...,f(xn),f(a),f(b)}.

①若f在[a,b]上单调增（减），则f(a)为最小（大）值，f(b)为最大（小）值.

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②若f在[a,b]上连续且在(a,b)内只有唯一一个极值，则该极值（极大值或极小值）就是最值（最大值或最小值）.

注：求函数f(x)在[a,b]上的最大（小）值，只需要把全部极大（小）值与函数的端点值

f(a),f(b)作比较，其中最大（小）的值就是f(x)在[a,b]上的最大（小）值.

3.2 极值与最值应用题

在工程技术，自然科学及日常生活中的大量实际问题都可以化为求函数的极大值与极小值问题.企业家追求最大利润与最小成本；飞行员寻求最短飞行时间；医生希望病人康复时间最短，等等.借助于微积分我们可以解决许多这种类似的问题.

通常一个问题到达我们手上，都是用描述性语言给出的.因此我们面临的第一个任务就是将它转化为数学问题，我们所期望的形式是：求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值或者最小值.

函数的图形告诉我们：函数的最大（小）值，或者在函数的极大（小）值点处达到，或者在区间的端点处达到.这样一来，函数的最大值、最小值，或在端点a，b处达到，或在方程f'(x)?0的根处达到.

【例2】 某一个星级宾馆有150间客房，通过一段时间的经营管理，宾馆经理整理出一些数据：如果每个房间定价为160元，则住房率为55%；如果每个房间定价为140元，则住房率为65%；如果每个房间定价为120元，则住房率为75%；如果每个房间定价为100元，住房率为85%.如果想使得每天收入最高，那么每个房间定价应为多少？ 解：①问题分析

由题意，易得出：定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长的趋势； ⑴160元的定价是否为最高价需要确定； ⑵是否所有客房定价相同应给与确定. ②模型假设

㈠在无其他信息时，每个房间的最高定价均为160元； ㈡所有客房定价相同. ③模型建立

根据假设一，如果设y代表宾馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可以得出：每降低1元钱的房价，住房率增加为

由此便可以得到

y?150(160?x)(0.55?0.005x).

10%?0.005. 20注意到0.55?0.005x?1,又得到0?x?90,于是得到所求的数学模型为：

maxy?150(160?x)(0.55?0.005x)，0?x?90.

④模型求解

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这是一个二次函数的极值问题，利用导数的方法易得到x?25?[0,90]为唯一的驻点，问题又确实存在最大值，故x?25（元）即为价格降低的幅度，也就是160?25?135（元）应为最大收入所对应的房价.

⑤模型分析

⑴ 将房价定在135元时，相应的住房率为0.55?0.005?25?67.5%,最大收入为

ymax?150?135?67.5%?13668.75（元）.

表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.

⑵ 为了便于管理，将价格定在每个房间每天140元也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.

⑶假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设一是正确的.

4 高等数学中不定积分的应用 4.1 不定积分的相关概念

⑴原函数：若在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对于任意一个x?I，都有

F'(x)?f(x)或者dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的原函

数.

定理2[7] 设F(x)，f(x)定义在同一区间(a,b)内，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么这里C是任意的常数，而F(x)?C包含了f(x)的全部原函数. F(x)?C也是f(x)的原函数，

⑵不定积分：在区间I上，函数f(x)带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，其中x称为积分变量，f(x)与f(x)dx分别称作被积函数和被积表达式.

由定理2可知，如果知道了f(x)的一个原函数F(x)，则F(x)?C就是f(x)的全部原函数，因此有?f(x)dx?F(x)?C，其中C是一个任意的常数，称为积分常数.

4.2 不定积分应用题

不定积分计算的题目千变万化，方法灵活多变，使初学者无所适从.实际上，大部分问题可由凑微分法和分部积分法进行计算.除此之外，就是一些特殊类型函数（简单的有理函数，简单的三角有理式及特殊形式的根式）的积分，这类问题的方法相对比较固定.因此，通常可以先看被积函数是否有特殊类型的函数；然后看被积函数是否为可用分部积分法的五大类函数的乘积形式；最后考虑凑微分法.（后两步的考查顺序也可以颠倒一下.）

当然有些比较复杂的题目需要多种方法综合运用，也有些题目解法是多种多样的，这些都是需要通过练习、观察、分析和总结各种解题的方法和技巧，掌握不同类型问题的特

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点及彼此间的联系，达到融会贯通的目的.

【例3】 在平面上有运动着的质点，若它在x轴方向与y轴方向的分速度分别为

vx?5sint ，vy?2cost，又xt?0?5，yt?0?0，

求：（1）时间为t时质点所在的位置； （2）运动的轨迹方程.

解：（1）设时间为t时质点位置为(x(t),y(t))，由导数的物理意义有

dx?vx?5sint dtdy?vy?2cost dtx(t)??5sintdt??5cost?C1 y(t)??2costdt?2sint?C2.

由x(0)?5,y(0)?0，得C1?10,C2?0，因此时间为t时，质点位置为(10?5cost,2sint). 运动轨迹方程为

?x?10?5cost ??y?2sint或者消去参数t得轨迹方程为

(x?10)2y2??1. 2545 高等数学中定积分的应用 5.1 定积分的相关性质

⑴ 定积分的微元法[9]

我们在研究曲边梯形的面积问题和变速直线运动的路程问题时，都是先把整体问题转化为局部问题，在局部范围内“以直代曲”或者“以不变代变”，从而求得整体量在各个局部范围内的近似值，然后加起来在取极限，最终求得整体量.即： ① 分割：把所求量Q分成n个部分?Qi(i?1,2,...,n)； ② 近似代替：

?Qi?f(?i)?xi，?i?[xi?1,xi](i?1,2,...,n)；

③ 求和：

Q???Qi??f(?i)?xi；

i?1i?1nn④ 取极限：

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Q?lim?f(?i)?xi??f(x)dx（其中??max{?xi}）.

??0i?1a1?i?nnb这就是用定积分解决实际问题的基本思路，在这四步中，第二步近似代替是关键.因为只要能够写成这一步，那么所求定积分的表达式的雏形就构成了，因此下面的问题就不难解决了.

在实际问题中，通常采取以下三步来解决问题：

① 选取积分变量：根据具体问题，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区间[a,b]； ② 确定被积表达式：在[a,b]内任取一个小区间[x,x?dx],“以不变代变”求得整体量Q相应于区间[x,x?dx]上的局部量?Q的近似值：?Q?f(x)dx，其中f(x)dx称为整体量Q的微元或元素，记为dQ?f(x)dx（必须注意：?Q与f(x)dx仅相差一个比dx高阶的无穷小，否则可能会造成失误）； ③ 求定积分

b以所求量Q的微元f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上定积分，得Q??f(x)dx，

a这就是所求量Q的定积分表达式，计算出定积分就得到所求量Q的值. 以上这种方法就是微元法或者元素法.

5.2 定积分应用题

应用定积分的理论和计算方法能解决一些实际问题.但应用定积分理论解决实际问题的第一步就是将实际问题转化为数学问题，这一步往往较为困难，而微元法恰恰是解决这个困难，实现这个转化的得力工具.

【例4】 某早上开始下雪，整天稳降不停.正午12点一辆扫雪车开始进行扫雪，每小时扫雪量按体积是常数.到了下午2点的时候扫清了两英里路，到了下午4点又扫清了1英里路，问降雪是从什么时候开始的？

解：设从时刻t0开始下雪，正午记为ta.雪量为S(m/h)，铲雪速度为R(m3/h)，街区长为定值L(m)，宽为W(m).则时刻t地面上雪的厚度为S(t?t0)， 清扫雪时的速度为

v?R.

S(t?t0)Wt?t0Rln(t?ta). SWta?t0在t时刻清扫的路长为

l(t)??vdt?tat由题可知

t?2?t0t?4?t0RRlna?2L与lna?3L. SWta?t0SWta?t0

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