排列组合、二项式定理(3)

16．（2014?安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ） A．24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对 考点：排 列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角． 专题：排 列组合． 分析：利 用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解答： 解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数， 不满足题意的共有：3×6=18． 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C． 点评：本 题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键． 17．（2014?邢台二模）身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B． 72种 C． 78种 D． 84种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；压轴题． 5分析： 题意知先使五个人的全排列，由共有A5种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果 解答： ：由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果． 解去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况 ∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A5﹣A2A2A3﹣2A2A2A3=48故选A． 点评：本 题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉． 18．（2014?揭阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ） A．210种 B． 180种 C． 120种 D． 95种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：排 列组合． 分析：利 用排列组合的方法即可得到结论． 解答： 解：从7个专业选3个，有种选法，甲乙同时兼报的有种选法， 5223222则专业共有35﹣5=30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法为×30=180， 故选：B 点评：本 题主要考查排列组合的应用，利用对立法是解决本题的关键． 19．（2013?山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） 243 252 261 279 A．B． C． D．

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考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析：求 出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 解答：解 ：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B． 点评：本 题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 20．（2014?马鞍山一模）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ） 144 120 108 72 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析：如 果重复数字为0，则须要从1，2，3中选出两个，然后根据首位不能放0，得到个数为??个，如果重复数字不为0，则根据首位不能为0，得到个数为+，综合两个情况可得答案． 解答：解 ：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数， ①如果重复数字为0， 则需要从1，2，3中再选取两个不同的数字，且0不能放在首位， 故首位应从两个非零数字中选择一个，而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进行放置， 则共有：??=3×2×3=18个 ②如果重复数字不为0，但抽取的数字含0， 则需要从1，2，3中先选取一个数字重复，再选取一个不重复，从后三位中选择一位放置0，再从剩余的三位中选择一位放置非重复数字， 故有=54种 ③如果重复数字不为0，但抽取的数字不含0， 则需要从1，2，3中先选取一个数字用做重复，再选取两个用做不重复， 放置时，应先从四位中先后选择二位放置非重复数字， 故有=36种 故有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为108个故选C 点评：本 题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，本题解答中一定要注意所组成的四位数不能是0 21．（2014?湖南二模）如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（ ）

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13 14 15 17 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析： 边长分为1，2，3，共4类，分别计算出个数即可． 按解答：解 ：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个．边长为的有2个：红颜色和蓝颜色的两个三角形．综上可知：共有9+3+1+2=15个．故选：C． 点评：正 确按边长分类是解题的关键． 22．（2014?张掖模拟）现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ） 20 40 60 80 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：分 成两类，第一类：男女男女男女；第二类：女男女男女男，即可得出结论． 解答：解 ：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有种，所以第一类的排法总数有种． 第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法， 所以满足条件的排法总数是40种．故选：B． 点评：本 题考查排列、组合的运用及简单计数问题，一般要先处理特殊（受到限制的）元素． 23．（2014?宝鸡三模）某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） 8 16 24 60 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；概率与统计． 分析：由 题意知将空位插到四个人中间，四个人有三个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为五部分，五个空位五分只有1，1，1，1，空位无差别，最后进行四个人排列． 解答：解 ：将空位插到四个人中间，四个人有三个中间位置和两个两边位置 就是将空位分为五部分，五个空位四分只有1，1，1，1． 空位无差别，有种排法，四个人排列有A种排法， 13

根据分步计数不同的坐法种数为=24．故选C． 点评：此 题类似于“5位女生与4位男生站成一排，要求女生左右两边都有男生”这道题，故用插空法．但又不完全相同，因为5个空位没有什么不同，无须把5个空位全排列． 24．（2014?南昌模拟）在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ） 576 720 864 1152 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：综 合题． 分析： 排1，3，5，7，有A44种排法，再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除先3的左右2个空，还有3个空可排6，故6有3种排法，最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，有A4种排法，再由乘法原理进行求解． 4解答： ：先排1，3，5，7，有A4种排法， 解再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除3的左右2个空，还有3个空可排6，故6有3种排法， 2最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，有A4种排法， 42共有A4×3×A4=864种排法，故选C． 点评：本 题考查排列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，注意不要丢解． 25．（2014?余姚市模拟）用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ） A．10种 B． 12种 C． 24种 D． 48种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：由 于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”． 解答：解 ：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此， 2三对同色：=4种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有=6种不同的涂法． 故共有4+6=10种不同的涂法．故选：A． 点评：本 题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题． 26．（2014?巴州区模拟）（理科）将A、B、C、D、E五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A、B被放在相邻抽屉内且文件C、D被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（ ） 240 480 840 960 A．B． C． D．

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考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：根 据题意，用捆绑法，将A，B和C，D分别看成一个元素，相应的抽屉看成5个，把3个元素在5个位置排列，由排列数公式可得其排列数目，看成一个元素的A，B和C，D两部分还有一个排列，根据分步计数原理得到结果． 解答：解 ：∵文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽屉内 ∴A，B和C，D分别看成一个元素，相应的抽屉看成5个， 3则有3个元素在5个位置排列，共有A5种结果， 223组合在一起的元素还有一个排列，共有A2A2A5=240种结果，故选：A． 点评：本 题考查排列、组合的运用，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列． 27. 解析：选D 从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．

28. 解析：选A 先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．

29. 解析：选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)． 30. 解析：选C 分两类情况讨论：

第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面； 第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．

31. 答案：A解析：对1,5,9三位置涂色有三种方法，对2和6小正方形，若颜色相同则有两种方法，此时3也有两种方法；若2和6颜色不相同有两种方法，此时3只有一种涂色方法，所以涂2,3,6小正方形共有六种方法，同理涂4,7,8小正方形也有6种方法，故总的涂色方法有3×6×6＝108种．

32.A 33.B 34.B 35.C 36------40 CCCCC 41------45 CCBCD 46----50BB 51. -243 52. -192 53. 0 15

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