数模 储油罐定标

摘要

本文研究的是储油罐的变位与罐容表标定问题，可以通过本文的剖析对企业、加油站油的存储提供建设性意见。

对于问题一，我们分为两种情况讨论。无变位的情况，通过对面积积分进而求出体积，建立模型求出储油罐内油位的高度h与储油量V的函数关系。将得到的函数表达式与已给出的出油、进油的实际情况进行误差分析。考虑到石油的挥发、不可避免的油罐的封闭性导致汽油的泄露、部分石油残留在出油管和进油管之间等不可避免的因素，可以认为误差在3.41%之间是可接受的，进而可以求出未变位时的罐容表标定；

其次，对倾角为α=4.1°的变位情况进行探讨。通过降维的思想将三重积分转化为求两次二重积分，同未变位的情况，采用分类讨论的思想求出体积与高度h的关系。与实际情况进行比对，发现误差可接受的，进而得出罐容表的标定： 变位后的罐容表标定：

0 3.621 12 102.221 24 400．4 1 5.421 13 119.621 25 431．6 2 8.221 14 138.821 26 463．4 3 4 5 22.62 17 205．9 29 562．8 6 29.821 18 230．8 30 597．2 7 38.221 19 256．8 31 632．1 8 48.021 20 283．8 32 667．5 9 59.321 21 311．7 33 703．4 10 72.021 22 340．5 34 739．9 11 86.321 23 370．1 35 776．8 11.92 16.72 15 159．7 27 495．9 16 182．2 28 529．1 对于问题二 先求出储油罐的体积与高度的函数表达式，同上要建立积分模型，采用分类讨论的思想。储油罐的两端是球冠体，运用分割的手法，将储油罐分成两部分来积分，即分割为圆柱体和两个球冠体。在matlab中进行积分运算，得出结果与附件所给的数据进行误差分析，当有变位时，加入两个角度值为自变量，用实验数据二来代入计算，得出角度与罐容表的函数，进行数据拟合求出?、?，再对罐容表进行标定得出如下结果：（??2.2?..??3.9?） 上一行为h单位为cm；下一行为V单位为L 10 20 30 40 50 60 70 356.51067.2225.3702.5435.7373.9489.6 38 10 35 30 14 79 110 120 130 140 150 160 170 19270219452467727453302563307435880.42 .71 .41 .85 .21 .63 .45 210 220 230 240 250 260 270 46772493285178054117563105833460170.23 .47 .39 .30 .54 .24 .49 80 11758.41 180 38673.34 280 61775.90 90 14160.75 190 41428.24 290 63102.41 100 16670.35 200 44136.30 300 64032.27

关键词：重积分求面积 分类讨论 误差分析 数据拟合

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型假设

1:、假设储油罐发生倾斜时变位，油罐体内的液体不会溢出。 2、假设只考虑横向和纵向的变位，不考虑其他情况下的变位。

3、假设发生纵向横向变位时，油罐体内的液体对油罐体产生的压强不会导致油罐体的变形。

4、假设定容表的指针在罐的最下端；

5、忽略天气，自然灾害，人为破坏等不可避免的灾害对储油罐的影响； 三、符号说明

a 储油罐椭圆底面的半长轴 b 储油罐椭圆底面的半短轴 Lm 储油罐罐身的长度 Vi i=1,2,3,4,5为各种情况下储油罐内的储油体积 储油罐的最大储油量 V总 S V圆柱体/V右球冠体 H

储油罐椭圆底面的面积 圆柱体/球冠体中油的体积 位于冠状体圆心处油截面的高度

四、问题分析

4.1 第一问：对不变位和变位两种情况的讨论：

Ⅰ：不变位时，储油罐可以看做一个横放的椭圆柱体，通过对椭圆底面的积分得出底面的面积，再乘上罐身的长度，即可得到储油高度h和储油体积V的函数关系，再得出函数关系的基础上，利用附件中所给的数据进行误差分析，在得出误差在可接受的的范围的情况下，在所给区间上进行标定，得出罐容表的标定值；

Ⅱ：变味的情况，由于罐身是倾斜的（此处倾斜角为α=4.1°），故在积分的时候椭圆底面的面积是变化着的，运用降维的思想将三重积分求体积V转化为两次二重积分，通过分类讨论的思想，得出储油体积V与储油高度h的函数关系，在此基础上与附件所给数据进行误差比较，在误差可接受的情况下，可得出罐容表的标定。

4.2对第二问的求解：

先求出储油罐的体积与高度的函数表达式，同上要建立积分模型，采用分类讨论的思想。储油罐的两端是球冠体，运用分割的手法，将储油罐分成两部分来积分，即分割为圆柱体和两个球冠体。在matlab中进行积分运算，得出结果与附件所给的数据进行误差分析，当有变位时，加入两个角度值为自变量，用实验数据二来代入计算，得出角度与罐容表的函数。进而求出?、?，再对罐容表进行标定。

五、模型的建立与求解

5.1对问题一的求解 5.1.1模型分析

x2y2 I.无变位情况，根据积分原理，由椭圆方程：2?2?1可得：

ab 如下图所示：

x

b

a2y b?y2 x=±b 进而同dS=2x*dy可以求得积分后的面积

b-h

bx dy y a2aπb2b?h2222b?ydy=( S=2*??barcsin?(b?h)b?(b?h)) b?hbb2b 从而体积关于高度的表达式

aLπb2b?h(?b2arcsin?(b?h)b2?(b?h)2) V=S*Lm =b2b （其中Lm=2.05+0.4=2.451m,a=

1.781.2=0.89m,b==0.6m） 22II:变位的情况下：

先对面积进行积分，由于面积S与Z没有约束关系，采用降维的思想先求出椭圆面积的表达式，进而对不同的Z进行分类讨论积分求出储油体积V与储油高度h的函数关系，

同无变位的情况，

a2aπb2b?h2b?ydy=(?b2arcsin?(b?h)b2?(b?h)2) S(h)=2?b?hbb2bb情况一：0

y

0.4

z0油位探针 z α=4.1° 此时h=0.4*tanα，V1=?S(h)dz=2.0182L,在此范围内罐容表系数一直为零。 情况二：0.4

油位探针

y z α=4.1° 2.45 此时h=L+（0.4-x）*tanα，V2=?情况三：Lm

上限下限S（h）dz（下限=0，上限=

L?0.4） tanα1.2如图： tan4.1?y 油位探针 z α=4.1° 1.2 tan4.1?此时h=L+(0.4-x)tanα，V3=?情况四：

y 上限下限S（h）dz（下限=0，上限=2.45）

1.21.2

tan4.1?tan4.1?油位探针 z α=4.1° 1.2?0.4tan4.1?

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