线性代数 秩和逆

一、 矩阵的秩

定义1 在一个m?n矩阵A中，任意选定k行和k列（k?min?m,n?），位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k?k矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例1 在矩阵

?1??0A??0??0?132?100001??4? ?5?0??中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2阶行列式

3105?15

就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4列，相应的3阶子式就是

111024?10.

005定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵A的秩记为rank?A?。

例2 证明：矩阵A与其转置矩阵AT有相同的秩。

例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。

证 设A是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r。选取这r个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而A的所有阶数大于r的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以

ran?kA??r。

由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以m?n矩阵A的秩

rank?A??min?m,n?。而如果rank?A??m，就称A是行满秩的；如果rank?A??n，就称A是列满秩的。此外，如果A的所有r?1阶子式全为零，由行列式的定义可知，A的r?2阶子式也一定为零，从而A的所有阶数大于r的子式全都为零。因此秩有下面等价的定义：

定理1 m?n矩阵A的秩为r充分必要条件是：在A中存在一个r阶子式不为零，且在rank?A??min?m,n?时，矩阵A的所有r?1子阶式都为零。

定理2 初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。 证 设Am?n经初等行变换变为Bm?n，且ran?kA??r1,ran?Bk??r2。当对A施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B中的任何r1?1阶子式等于某非零数c与A的某个r1?1阶子式的乘积，其中c??1或其他非零数。因为A的任何r1?1阶子式皆为零，故B的任何r1?1阶子式也都为零。

当对A施以第i行的k倍加到第j行的变换时，矩阵B的任何一个r1?1阶子式B1，若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，则它等于A的一个r1?1阶子式；若B1含B的第j行但不含第i行，则B1?A1?kA2，其中A1,A2是A的两个r1?1阶子式，由A的任何r1?1阶子式均为零，知B的任何r1?1阶子式也全为零。

根据以上分析，若对A施以一次初等行变换得到B，则r2?r1?1，即r2?r1。由于B可经一次适当的行变换变回A，同样地就有r1?r2。所以r1?r2。 显然，上述结论对列变换也成立。 现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等变换把它变成阶梯形（根据第一节定理1，仅用行的初等变换就可以做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。

例4 设

?16?4?14???6?1??3?23， A???2015?3???32050???求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。

解 对A作初等行变换，使之变成阶梯形：

?16?4?14??16?4?14?????r?2rr2?r4031?431?1?1?1???0?43 A??????r?3r2015?3410?1297?11?????32???050???0?16128?12??16?4?14??16?4?14?????r3?3r20r?r?431?1?43?0?431?1??， ??????r4?4r20004?80004?8?????00??04?8??00000???因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是3，所以rank?A??3。

再求A的一个最高阶非零子式。由rank?A??3知，A的最高阶非零子式是333阶的，A的3阶子式共有C4 C5?40个，要从中找出一个非零子式是比较麻烦的。

如果B是矩阵A仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用B的各非零行第一个非零元素所在的列按在B中的次序构成矩阵B1，把A中相应列按在A中的次序构成的矩阵记作A1。那么B1也是阶梯形的，它的非零行个数与B的相同，并且就等于B1的列数。因此，B1是一个与B有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将A变成B的行变换可将A1变成B1，这说明A1是与A有相同秩的列满秩矩阵。考虑到A1是由A的某些列按在A中的次序构成的矩阵，A1的子式必是A的子式，

A1的最高阶非零子式必是A的最高阶非零子式。

在本例中，

?16?4?14??16?1??16?1???????0?431?10?413?26??????，，。 B??B?A?11?00?200004?8?4?5????????00????000?0?5???00?32?3A1的三阶子式只有C4?4个，其中必有不为零的，如子式

16?16??32

53?220就不为零，那么它也是A的一个最高阶非零子式。

例5 设

?1?112???A??3??12?，

?53?6???已知rank?A??2，求?与?的值。

12?1?1??1?1?12c?c??24??A?0??3?4?4?0?4?4??3解 ???? r3?5r1?0?0?4??58??5?4?8?????r2?3r1r3?r21?1??12????0?4?4??3?， ?00??15?????因rank?A??2，故??1?0,5???0，从而??1,??5。

例6 证明：矩阵添加一列（或一行），则秩或不变，或增加1。 证 设矩阵A?aij??的秩为r。在A中任意添加一列B??b1,b2,?,bm?，m?nT~通过一些列的交换，总可以使所得矩阵变成A??A,B?，而秩不变。因此我们只

~需研究A的秩与A的秩之间的关系。

~~~用初等行变换将A化成阶梯形矩阵A1，相应地，A的子矩阵A也化成了

~并且A1也是阶梯形的，其非零行都在矩阵的上A1??A1,B1?的m?n阶子矩阵A1，

~部。因为rank?A??r，所以A1恰好有r个非零行。这样，A1的前r行也都是非零~~~行。如果A1只有这r个非零行，则rankA?r。要不然，A1的第r?1行也是非零~行。这时，因为A1只有r个非零行，所以A1的第r?1行的前n个元素必定都是零，~~只有最后那个元素不为零，由于A1是阶梯形矩阵，A1的第r?1行之后的各行（如~果还有的话）必定都是零行，因此，rankA?r?1。

这就证明了添加一列的情形，类似地可证明添加行的情形。 定理2还说明，在m?n矩阵A的标准形

?Er??0?m?r,r0r,n?r??

0m?r,n?r??????中，r?rank?A?。从而，n阶方阵A非退化的充分必要条件是n?rank?A?。

二、 逆方阵

定义3 对于方阵A，如果存在同阶方阵B，使得

AB?BA?E

则称A可逆，B就称为A逆矩阵，记为A。

?1若方阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，如果A还有一个逆矩阵C，则由定义AC?CA?E，所以

C?EC?A?1AC?A?1?AC??A?1E?A?1

下面要解决的问题是：在什么条件下方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A？ 定义4 设Aij是方阵

?1???a11??a21A?????a?n1中元素aij的代数余子式，矩阵

a12a22?an2?a1n???a2n? ????ann???A11??A12*A?????A?1n称为A的伴随矩阵。

由行列式的定义和性质立即得出

A21A22?A2n???An1??An2??? ?Ann?????AA*?A*A?????如果A?0，那么

A0?00?A??0?0??0??AE ???A???1*??1*????A?

?AA???AA?A?E （11—3—1）????定理 矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化，而

A?1?1*A A?1证明 当A?0，由（11—3—1）可知，A可逆，且A?1?1?1*A。 A反过来，如果A可逆，那么有A，使AA?1?E，两边取行列式，得AA?E?1，

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