函数与极限练习题

第一章 函数与极限

§1 函数

一、是非判断题

1、f(x)在X上有界，g(x)在X上无界，则f(x)?g(x)在X上无界。 [ ] 2、f(x)在X上有界的充分必要条件是存在数A与B，使得对任一x?X都有

A?f(x)?B [ 3、f(x),g(x)都在区间I上单调增加，则f(x)·g(x)也在I上单调增加。 [ 4、定义在（??，??）上的常函数是周期函数。 [ 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ 6、f(x)为（??，??）上的任意函数，则f(x3)必是奇函数。 [ 7、设f(x)是定义在??a,a?上的函数，则f(x)?f(?x)必是偶函数。 [ 8、f(x)=1+x+x2?是初等函数。 [ 二．单项选择题

1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A）y?|elnx| （B）y?x2 （C）y?4x4 （D）y?xsgnx

2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。

（A）sin3x （B）x3+1 （C）x3+x （D）x3-x 3、设f(x)?x2,f??(x)??22x,则函数?(x)是

（A）log2x （B）2x （C）log222x （D）x 4、若f(x)为奇函数，则 也为奇函数。

(A)f(x)?c,(c?0); (B) f(?x)?c,(c?0) (C) f(x)?f(x); (D) f[f(?x)]. 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=earctan(x?1)

2、 y=x?x?x

3、 y=lnlnlnx

1

] ] ] ] ] ] ]

四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

（1） f(x2)

(2) f(sinx)

(3) f(x+a) (a>0)

(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)

五．设f(x)??

六．利用f(x)?sinx的图形作出下列函数的图形：

1．y?|f(x)| 2。y?f(|x|)

3．y?f(x)?2 4。y?f(x?2)

5．y?2f(x) 6。y?f(2x)

2

x?0?2x,x?0?5x, ，g(x)?? ，求f[g(x)]及g[f(x)]。 x,?3x,x?0x?0??

§2 数列的极限

一 是非判断题

1、当n充分大后，数列xn与常数A越来接近，则limxn?A. [ ]

x??2、如果数列xn发散，则xn必是无界数列。 [ ] 3。如果对任意??0,存在正整数N，使得当n>N时总有无穷多个xn满足|xn?a|??，

xn?a. [ ] 则 limn??4、如果对任意??0,数列xn中只有有限项不满足|xn?a|??，则limxn?a. [ ]

n??5、若数列xn收敛，列yn发散，则数列xn?yn发散。 [ ] 二．单项选择题

1、根据 limxn?a的定义，对任给??0,存在正整数N，使得对n>N的一切xn，不等式

n??xn?a??都成立这里的N 。

（A）是?的函数N(?)，且当?减少时N（?）增大； （ B）是由?所唯一确定的

（C）与?有关，但?给定时N并不唯一确定 （D）是一个很大的常数，与?无关。

?1?,当n为奇数2、xn??n则 。

?10?7,当n为偶数??7（A）limxn?0; （B）limxn?10;

n??n??（C）limxn??n???0,n为奇数,?7; (D) limxn不存在

n???10,n为偶数3、数列有界是数列收敛的 。 （A）充分条件； （B）必要条件；

（C）充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件。 4、下列数列xn中，收敛的是 。 （A）xn?(?1)nn?1nn?（B）xn?（C）xn?sin（D）xn?n?(?1)n nn?12三．根据数列极限的定义证明。 （1） lim

3

12n?12?0lim? （2）

n??n2n??3n?13

（3）lim

sinn12n1?0 （4）lim(2?2???2)?

n??n??nn2nn四、若limxn?0，又数列yn有界，则limxnyn?0。

n??n??

五、若limxn?a，证明lim|xn|?|a|。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出

n??n?? 反例。

4

§3 函数的极限

一 是非判断题

1、如果f(x0)=5，但f(x0?0)?f(x0?0)?4,则limf(x)不存在。 [ ]

x?x02、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x)和limf(x)都存在。 [ ]

x??x???x???3、如果对某个??0,存在??0,使得当0<|x?x0|??时，有f(x)?A|??,那末

x?x0limf(x)?A. [ ]

x?x04、如果在x0的某一去心邻域内，f(x)?0,且limf(x)?A,那末A?0. [ ] 5、如果limf(x)?A且A?0,那么必有X?0,使x在??X,X?以外时f(x)?0. [ ]

x??二．单项选择题

1、从limf(x)?1不能推出 。

x?x0（A）limf(x)?1 （B）f(x0?0)?1 （C）f(x0)?1 （D）lim[f(x)?1]?0

x?x0?0x?x02、f(x)在x?x0处有定义是limf(x)存在的 。

x?x0（A） 充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件

（C） 充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件

(x?1)2x?1,g(x)?,则 。 3、若f(x)?2x?1x?1 （A）f(x)?g(x) （B）limf(x)?g(x)

x?1 （C）limf(x)?limg(x) （D）以上等式都不成立

x?1x?14、limf(x)?limf(x)是limf(x)存在的 。

x?x0?0x?x0?0x?x0 （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件

（C）充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件 四．根据函数极限的定义证明

x2?4??4 （1）lim(3x?1)?8 （2）limn?3x??2x?4

5

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