函数与极限练习题(2)

1?x312?（3）lim （4）limx(x?4?x)??2

x??2x3x???2

五．求limx?0xx

?3x?1;x?1六．设f(x)=?

2x;x?1?求（1）limf(x) （2）limf(x) （3）limf(x)

x?1x?2x?0

七．设函数f(x)?3x?|x|，求

5x?3|x|x???x??0x??0x?0 （1）limf(x) （2）limf(x) （3）limf(x) （4）limf(x)（5）limf(x)

x???

6

§4无穷小与无穷大

一、是非题

1、零是无穷小。 [ ] 2、

1是无穷小。 [ ] x3、两个无穷小之和仍是无穷小。 [ ] 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 [ ] 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 [ ] 6、无界变量必是无穷大量。 [ ] 7、无穷大量必是无界变量。 [ ] 8、?,?是x?x0时的无穷小，则对任意常数A、B、C、D、E，

Aa2?B???C?2?Da?E?也是x?x0时的无穷小。 [ ] 二．单项选择题

1、若x是无穷小，下面说法错误的是 。 （A）x2是无穷小；（B）2x是无穷小； （C）x-0．0001是无穷小；（D）-x是无穷小。 2、在X→0时，下面说法中错误的是 。

1111（A）xsinx是无穷小（B）xsin是无穷小 (C)sin是无穷大; (D)是无穷大。

xxxx3、下面命题中正确的是 。

（A）无穷大是一个非常大的数； （B）有限个无穷大的和仍为无穷大； （C）无界变量必为无穷大； （D）无穷大必是无界变量。 三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量 （1） lnx (x?1)及(x?0?) （2）x(sin

(3) e (x???)及(x???) (4) e (x??0)、(x??0)及(x?0)

四．证明函数y?xcosx在(0,??)内无界，但当x???时，这函数不是无穷大。

7

x1?2) (x?0) x1x

§5 极限的运算法则

一．是非题 1、R(x)?p(x)是有理分式，且Q(x)?0,T(x)是多项式， 那末 Q(x) lim?R(x)?T(x)??R(x0)?T(x0). [ ]

x?x02、lim1?2?3?...?n12n?lim?lim?...?lim?0. [ ]

n??n??n2n??n2n??n2n211?limx.limsin?0 [ ] xx?0x?0x3、limxsinx?04、 若limf(x)存在,且limg(x)?0,则可断言limf(x)?0 [ ]

x?x0x?x0g(x)x?x0二．计算下列极限

x2?5x2?2x?1（1） lim （2）lim 2x?2x?3x?1x?1

(x?h)2?x2x2?1（3）lim （4）lim2

h?0x??h2x?x?1

x2?xx2?6x?85）lim4 （6）lim2

x?0x?3x2?1x?4x?5x?4

（7）lim(1?n??1111?2?3???(n?1)????n) （8）lim 2n??242n

（9） lim(x?113(n?1)(n?2)(n?3)?)lim （10）

n??1?x1?x35n3

（11） limearctanx （12） limsinx?1?sinx???xx?01 x

（13） lim(x?1?x??2x2?1) （14）limx?x?x2x?1x???x2?ax?b?2，求常数a,和b。 四．已知 lim2x?2x?x?2x3?1(?ax?b)?1，求常数a,和b。 五．已知 limx??x2?1

8

§6极限存在准则，两个重要极限 一．是非题

1、limyn?limzn?a,且当n>N时有yn?xn?zn,那么limxn?a. [ ]

n??n??x??2、如果数列xn满足：（1）xn?a(n?1,2...,a为常数；（2）xn>xn+1(n=1,2…).则 xn必有 极限 [ ] 3、limsinx?1 [ ]

x??x14、lim(1?)n?1 [ ]

n??n5．lim(1?x)?? [ ]

x?01x二．单项选择题

1、下列极限中，极限值不为0的是 。

2sinx?3cosx1arctgxx22（A）lim （B）lim （C）limxsin （D）lim4 2x??x?0x??x??xxx?xx;2、若f(x)??(x),且limf(x)?A,lim?(x)?B,则必有 。

x?ax?b （A）A>B (B)A≥B (C)|A|>B (D)|A|≥|B| 3、lim(1?x??1n?1000)的值是 。 n (A)e (B)e1000 (C)e·e1000 (D)其它值 4、limx??tgx? 。 sinx11?sinx)? 。 xx (A)1 (B) -1 (C)0 (D)? 5、lim(xsinx?0 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在 三．计算下列极限

tg3xsin2x（1） lim （2） lim

x?0x?0xx

（3） lim

9

h1?cosaxh??0 （4） lim1?cos2x

x?0xsinx

（5） lim(1?x) （6）limx1?2x

x?01xx?0

（7） lim(x??1?x2x1) （8）lim(1?)kx （k为正整数）

x??xx

（9）lim(1?x??13x) （10） lim(1?3sinx)2cosx 2x?0x

（11）limx?01?x?1?x （12）limx?0sin3xsin3x?x2sin(1?cosx)x1x

三．利用夹逼准则证明：limn(n??111????)?1 222n?1n?2n?n

四．设x1?a?0，xn?1?收敛，并求其极限。

§7无穷小的比较

10

12(xn?)n?1,2,3,?，利用单调有界准则证明：数列{xn}2xn

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