2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
)(1245)，??(234)(456)?S6。 3、设有置换??(1345?11．求??和??；
?12．确定置换??和??的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
6
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。
A.2 B.5 C.7 D.10 2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
?：x→x＋2，?x∈R，
则?是从A到B的（ ）
A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123) D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。 A.2 B.4 C.6 D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ） A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法 C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝0 D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝1 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。 7.设(G，〃)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。 11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。
7
12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。 13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。
14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。
15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，?是Z到Zm的一个映射，其中
，?k∈Z， ? ：k→［k］
验证：?是Z到Zm的一个同态满射，并求?的同态核Ker?。 17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分） 19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“?”
由右边的运算表给出，证明：(G，?)作成一个群。
? a b c
a a b c
b b c a c c a b
20.设
R??????a??c?b??a,b,c,d?Z?,d?????a0???I???a,c?Z?, ?c0?????已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。
21.设(R，＋，〃)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积： ??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)
可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积：
8
11(A?A?)C?(A?A?)222、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称
矩阵，且A?B?C。若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则
B???(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)
B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。
3、答：（Mm，?m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx（对每个x，从x2?e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以
?1得x?x）。
2、证明在F里
a(a,b?R,b?0)b
?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??有意义，作F的子集 ab?1?b?1a?Q显然是R的一个商域 证毕。
?近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。
9
若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、mn； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
)(56)，???(16524)； 3、解： 1．???(12432．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
?1a????0?1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义a?1??，
?1
因而R的任意元b?b?1??
这就是说?=R，证毕。
2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。
近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ）
2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ）
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