近世代数期末考试题库(4)

即G中每个元素都满足方程xn?e

2、充要条件：a,b?H,?ab?H;a?H?a?1?H； 证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交 设a,b?H,则a,b?H,a,b?K H是G的子群，有ab?H K是G的子群，有ab?K

?ab?Q

?a?H，则a?H且a?K由定理1，可知a?1?H

综上所述，H也是G的子群。 3、证：

?a,b?G;ab?Ga?a?1?a?a?a2由消元法得a?a?1ab?(ab)?1?b?1a?1?ba

G是交换群。

三、解答题

1、解：设G是一个非空集合，?是它的一个代数运算，如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a,b,c，有(a?b)?c?a?(b?c) （2）G中有元素e，它对G中每个元素a，都有e?a?a （3）对G中每个元素a,在G中有元素a?1，使a?1?a?e 则G对代数运算?作成一个群。

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对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故?为G的代数运算。 （a?b）?c=(a+b+4) ?c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a? (b?c)=a+b+c+8

即（a?b）?c= a? (b?c)满足结合律

?a均有（-4）?a=-4+a+4=a

故-4为G的左单位元。 （-8-a）?a=-8-a+a+4=-4 故-8-a是a的左逆元。

2、解：|S3|?6其子群的阶数只能是1，2，3，6 1阶子群｛（1）｝

2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群S3

左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H （12）H=｛（12）（123）｝=（123）H （13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23） H（13）=｛（13）（23）｝=H（123） H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）

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