第三章 粘性流体流动的微分方程

传递过程原理

第三章 粘性流体流动的微分方程

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前面已讨论了总质量、 前面已讨论了总质量、总能量及总质 量衡算方程， 量衡算方程，用它们可以解决工程设计中 的许多问题。 的许多问题。 总衡算的对象是某一宏观控制体。 总衡算的对象是某一宏观控制体。 特点：由进出口流股的状态、 特点：由进出口流股的状态、控制体范围 与环境之间的交换情况去确定内部某些量 发生的总变化。 发生的总变化。 例：总质量衡算只是考察流体通过圆管的 平均速度，而不能确定截面上的速度分布， 平均速度，而不能确定截面上的速度分布， 这一问题要由微观衡算来解决， 这一问题要由微观衡算来解决，微观衡算 所依据的定律与总衡算一样。 所依据的定律与总衡算一样。

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微分衡算方程又称为变化方程， 微分衡算方程又称为变化方程，它们 描述与动量、 描述与动量、热量和质量传递有关的物理 量如速度、密度、压力、温度、 量如速度、密度、压力、温度、组分浓度 等随位置和时间变化的普遍规律。 等随位置和时间变化的普遍规律。 本章重点是微分质量衡算和微分动量 衡算方程。 衡算方程。

第一节 连续性方程连续性方程： 连续性方程：对于单组分系统或组成无变 化的多组分系统， 化的多组分系统，应用质量守恒定律进行 微分衡算得到的方程。 微分衡算得到的方程。

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3-1 连续性方程的推导 -y

dy

(X,Y,Z)

dx z

dz x

如图： 如图：在流动的流体 中选取一微元体， 中选取一微元体，其 边长为dx, , , 边长为 ，dy,dz, 相应的各边长分别与 x轴 y轴和 轴平行。 x轴，y轴和z轴平行。 轴和z轴平行

流体在任一点( , , )处的速度u沿 ， 流体在任一点(x,y,z)处的速度 沿x, y,z方向的分量分别为 x , uy,和uz ,流 方向的分量分别为u , 方向的分量分别为 ， 体的密度为ρ, 为 ， , 和 的函数 的函数。 体的密度为 ，ρ为x,y,z和θ的函数。 因此在点( , , )处的质量通量为ρu 因此在点(x,y,z)处的质量通量为

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根据质量守恒定律， 根据质量守恒定律，对此微元体进行质量 衡算得： 衡算得： 输出的质量流率- 输出的质量流率-输入的质量流率 累积的质量流率= +累积的质量流率=0 首先分析x方向流过此微元体的质量流率 方向流过此微元体的质量流率： 首先分析 方向流过此微元体的质量流率： 设微元体左侧平面处的质量通量为ρu 设微元体左侧平面处的质量通量为 x , 则输入微元体的质量流率= 则输入微元体的质量流率=ρux dydz ρ u x dx) 右侧平面处的质量通量为 ( ρ u x + x ρ u x )dydz 则输出微体的质量流率= 则输出微体的质

量流率= ( ρ ux + x

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沿x方向的净输出质量流率为上述二者之 方向的净输出质量流率为上述二者之 差即： 差即： ρ ux

x

dxdydz

同理： 同理：沿y方向的净输出质量流率为 方向的净输出质量流率为 ρ u y y dxdydz

沿z方向的净输出质量流率为 方向的净输出质量流率为 ρ u z dxdydz z

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三者相加便是此微元体中流体质量流率的 总输出与总输入之差： 总输出与总输入之差： 即总净输出量为： 即总净输出量为： (输出的质量流率)-(输入的质量流率) 输出的质量流率)-(输入的质量流率) 输出的质量流率)-(输入的质量流率 ρ u x ρ u y ρ u z=( x + y + z )dxdydz )dxdydz

在θ时，微元体的质量为 时 微元体的质量为ρdxdydz, , 在θ+d θ时，其质量变为 + 时 ρ ρ ρ dxdydz + ( dθ )dxdydz = ( ρ + dθ )dxdydz θ θ

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累积的质量速率为上述两项之差除以dθ 累积的质量速率为上述两项之差除以 ρ dxdydz 累积质量速率= 累积质量速率= θ

于是可证流体流动时的微分质量衡算式为： 于是可证流体流动时的微分质量衡算式为： ρ u x ρ u y ρ u z ρ + + + =0 x y z θ

(3-1) )

写成向量形式为： 写成向量形式为： ρ + i( ρ u ) = 0 θ 散度

(3-2) - )

此式即为流体流动时的通用微分衡算方程， 此式即为流体流动时的通用微分衡算方程， 又称为连续性方程。 又称为连续性方程。

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适用范围： 适用范围： (1)由于推导时没作任何假定，故它适 )由于推导时没作任何假定， 用于稳态或非稳态系统。 用于稳态或非稳态系统。 (2)理想流体和真实流体。 )理想流体和真实流体。 (3)可压缩和不可压缩流体。 )可压缩和不可压缩流体。 (4)牛顿型流体和非牛顿型流体。 )牛顿型流体和非牛顿型流体。 它是研究动量、 它是研究动量、热量和质量传递过程的最 基本、最重要的微分方程之一。 基本、最重要的微分方程之一。

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3-2 对连续性方程的分析和简化 -将连续性方程展开可得其另一种形式为： 将连续性方程展开可得其另一种形式为： u x u y u z ρ ρ ρ ρ + + ) + ux + uy + uz + =0 ρ( x y z x y z θ

(3-3) 上式的物理意义分析： 上式的物理意义分析： 与传递过程有关的许多物理量(如压力、 与传递过程有关的许多物理量(如压力、 密度、速度、温度、浓度等) 密度、速度、温度、浓度等)都是位置和 时间的连续函数， 时间的连续函数， 对于ρ有 对于 有： ρ = f ( x, y, z , θ ) 进行全微分得： 将ρ进行全微分得： 进行全微分得 (3-4)

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ρ ρ ρ ρ dρ = dθ + dx + dy + dz

θ x y z

(3-5)

写成全导数的形式为： 写成全导数的形式为：d ρ ρ ρ dx ρ dy ρ dz = + + + dθ θ x dθ y dθ z dθ

(3-6)

各项物理意义： 各项物理意义： ρ (1)偏导数 θ ) 表示某固定点处流体密度随时间的变化率。 表示某固定点处流体密度随时间的变化率。 因为x, , 固定时 后三项均为零， 固定时， 因为 ，y,z固定时，后三项均为零，dρ ρ = dθ θ

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(2)全导数 )

dρ dθ

它可想象为当测量运动流体密度时， dy dz 它可想象为当测量运动流体密度时，观察 dx 者在流体中以任意速度运动( 者在流体中以任意速度运动(式中 dθ 、 θ 、 θ d d 为其速度分量， 为其速度分量，该速度不一定等于流体速 时密度对时间的变化率。显然， 度)时密度对时间的变化率。显然，全导 数除了与时间和位置有关外， 数除了与时间和位置有关外，还与观察者 的速度有关。 的速度有关。 Dρ (3)随体导数 Dθ ) 若测量流体密度时， 若测量流体密度时，观察者在流体中的运 动速度与流体运动的速度完全一致时， 动速度与流体运动的速度完全一致时，则

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dx dy dz ux = 、uy = 、uz = dθ dθ dθ u x、u y、u z 为流体流速在三个坐标轴的分量。 为流体流速在三个坐标轴的分量。

此时，上述方程即可表明流体密度为位置、 此时，上述方程即可表明流体密度为位置、 时间及流体速度u的函数 的函数。 时间及流体速度 的函数。此种随流体运 动的导数称为“随体导数” 动的导数称为“随体导数”或“真实导 或称拉格朗日( 导数， 数”,或称拉格朗日(Lagrangian)导数， 导数 记为 D = + u + u + u x y z (3-7) Dθ θ x y z 随体导数中的物理量可以为标量如(压力、 随体导数中的物理量可以为标量如(压力、 密度、温度、浓度等), ),也可以为矢量如 密度、温度、浓度等),也可以为矢量如 速度) (速度)

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流体密度ρ的随体导数可表示为： 流体密度 的随体导数可表示为： 的随体导数可表示为D ρ ρ ρ ρ ρ = + ux + uy + uz Dθ θ x y z局部导数 对流导数

(3-8)

随体导数由两部分组成，其一为局部变化， 随体导数由两部分组成，其一为局部变化， 即量在空间的一个固定点上随时间的变化， 即量在空间的一个固定点上随时间的变化， ρ 称为“局部导数” 称为“局部导数” θ 另一部分是量的对流变化， 另一部分是量的对流变化，即该量由于流 体质点的运动， 体质点的运动，由一点移动到另一点时该 量所发生的变化，称为“对流导数” 量所发生的变化，称为“对流导数”。

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上式表明：当

流体质点在 时间内 时间内， 上式表明：当流体质点在dθ时间内，由 空间的一点( , , ) 空间的一点(x,y,z)移动到另一点 (x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度 + , + , + ) 对时间的变化率。 对时间的变化率。 连续性方程用随体导数形式表达为： 连续性方程用随体导数形式表达为： u x u y u z 1 D ρ + + + =0 x y z ρ Dθ

方程中的前三项是速度向量的散度 iu 现在来看第四项的物理意义： 现在来看第四项的物理意义： 考察随流体运动的一个单位质量的流体微元， 考察随流体运动的一个单位质量的流体微元， 质量衡定，但体积v和密度 随时间而变， 和密度ρ随时间而变 质量衡定，但体积 和密度 随时间而变，

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ρν = 1 因为 两边求随体导数得： 两边求随体导数得：Dν Dρ ρ +ν =0 Dθ Dθ

(3-10) (3-11) (3-12)

1 Dρ 1 Dν = ρ Dθ ν Dθ

代入方程( - ) 代入方程(3-9)得：1 Dν u x u y u z = + + ν Dθ x y z

(3-13)

流体微元的体积膨胀速率或形变速率

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