1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最大值、最小值

函数的最大值、最小值

第2课时 函数的最大值、最小值

函数的最大值、最小值

喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，

经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”,让 我们来研究—— 函数的最大值与最小值.

函数的最大值、最小值

1.理解函数的最大(小)值及其几何意义；(重点) 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(难点)

函数的最大值、最小值

探究点1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象：yMB

o图2

x0

x

函数的最大值、最小值

思考1 这两个函数图象有何共同特征？【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图 象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高

点.思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则

对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)≤M最高点的纵坐标即 是函数的最大值！

函数的最大值、最小值

函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I,如果存在实数M满足：

f(x)≤M ; (1)对于任意的x∈I,都有________f(x0)=M 。 (2)存在x0∈I,使得_______ 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 请同学们仿此给 出函数最小值的 定义

函数的最大值、最小值

函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函 数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R, 都有f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高 点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无 最高点时，我们就说这个函数没有最大值.

函数的最大值、最小值

探究点2

函数的最小值

观察下列两个函数的图象：y y

m

m x0 图1 x x0

o

o图2

x

函数的最大值、最小值

思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中 的最小值,即函数的最小值.

函数的最大值、最小值

思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小

值？提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在

x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).

函数的最大值、最小值

函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数N满足： (1)对任意的 f(x)≥N ; x I ,都有________

f(x0)=N (2)存在 x I ,使得_______. 0 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.

函数的最大值、最小值

函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最

低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的

x∈R,都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图 象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.

函数的最大值、最小值

对函数最值的理解1.函数最大值首

先应该是某一个函数值，即存在 x0 I , 使得 f x0 M .并不是所有满足 f ( x) M 的函数都有 最大值M.如函数 f ( x) x, x ( 1,1) ,虽然对定义域上

的任意自变量都有 f ( x) 1 ,但1不是函数的最大值.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小

的函数值.

函数的最大值、最小值

例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般 是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高 度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少(精确到1 m)?

函数的最大值、最小值

分析：烟花的高度h是时间t的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，

以及这个最大值是多少. 解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标 就是这时距地面的高度.

函数的最大值、最小值

由二次函数的知识，对于函数

h(t ) 4.9t 2 14.7t 18 我们有：14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 ( 4.9) 4 ( 4.9) 18 14.72 h 29. 4 ( 4.9)

于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.

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