8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
（1）
6
1
1
3i
i=
∑；(2)1
6
1
3i
i=
∑。
解：（1）
6
23456
1
1111111
3333333
i
i=
=+++++
∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001
+++++
489
.0
=
（2）
1
65432
6
1111111
3333333
i
i=
=+++++
∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333
+++++
489
.0
=
9．已知三角形面积
1
sin
2
S ab C
=，其中0
2
C
π
<<。
证明：()()()()
S a b C
δδδδ
≤++。
证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：
12
12
112
(,,,)
((,,,))()
(,,,)
n
i n
n i
i n i
x f x x x
f x x x x
f x x x x
δδ
=
?
≈
?
∑。得
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
4 (,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C C δδδδ???=++???()sin ()sin ()cos ()sin sin sin a b C S b C a a C b ab C C ab C ab C ab C δδδδ=??+??+?? =()()()C a b C tgC δδδ++ ()()()a b C δδδ≤++ （当02C π
<<时，C tgC <），命题得证。
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
5
习题二
1．找出下列方程在0
x=附近的含根区间。
（1）cos0
x x
+=；（2）3cos0
x x
-=；
（3）sin()0
x
x e-
-=；（4）20
x
x e-
-=；
解：（1）设()c o s
f x x x
=+，则(0)1
f=，(1)-0.4597
f-=，由()
f x的连续性知在[]
1,0
x∈-内，()
f x=0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]
0,1；0,
2
π
??
??
??
；[]
0,1 2．用二分法求方程sin10
x x-=在[]
0,2内的根的近似值并分析误差。
解：令()s i n
f x x x
=-，则有(0)10
f=-<，(2)0.81860
f=>，'()sin cos0
f x x x x
=+>，[]
0,2
x∈
所以函数()
f x在()
0，2上严格单调增且有唯一实根x*。
本题中求根使得误差不超过4
10-，则由误差估计式
1
2
|
|
+
-
≤
-
k
k
a
b
x
α，所需迭代次数k满足4
1
10
2
2
-
+
<
-
k
，即取28
.
13
≥
k便可，因此取14
=
k。用二分法计算结果列表如下：
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
6
由上表可知原方程的根14 该问题得精确解为 08711.11415714=α，故实际误差为 0000396.0
3．判断用等价方程()x x φ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x =--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛性，其中
（A ）2()11/x x φ=+；（B ）()x φ；（C ）()x φ=
解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。（A ）21
()1x x φ=+，显然当0x >时，()x ?单调递减，
而(1.3) 1.59171596φ=， (1.6) 1.390625φ=，
因此，当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，332
2'()0.9211.3x x φ=-≤<<，
由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式121
1k k
x x +=+， (0,1,2,)k =收敛。
（B ）1
32()(1)x x φ=+，则(1.3) 1.390755416φ=， (1.6) 1.526921344φ=， 223
12'()03(1)x
x x φ=>+ (0)x >，
所以当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，222233
22 1.6
'()0.552133(1)(1 1.3)x
x x φ=≤<<++， 由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1
2
31(1)k k x x +=+，(0,1,2,)k =收敛。
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
7（C
）()x
φ=，由于当[]
1.3,1.6
x∈时，有
33
22
11
'() 1.0758287061
2(1)2(1.61)
x
x
φ
-
=≥=>
--
，
所以对任意初值[]
1.3,1.6
x∈（原方程的根除外）
，迭代格式
1
k
x
+
=(0,1,2,
k =发散。
4．确定()
x x
φ
=的简单迭代法
1
()
k k
x x
φ
+
=的收敛区间[],a b。如果收敛，试估计使精度达到4
10-时所需的迭代次数并进行计算。
（A）
2
2
()
3
x
e x
x
φ
-+
=；（B）
2
5
()2
x
x
φ=+；（C）
sin cos
()
2
x x
x
φ
+
=
解：（A）方程为0
3
22=
-
+
-x
x
e x，设x
x
e
x
f x3
2
)
(2-
+
-
=，则0
1
)0(>
=
f，
-0.8987
)5.0(<
=
f，故有根区间为]5.0,0[，题中
2
2
()
3
x
e x
x
φ
-+
=，
3333
.0
|
3
2
||
3
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