x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。
9．判断用Newton
迭代求解方程()(
f x sign x
=
解：由
??
?
?
?
-
-
=
x
x
x
f)
(
)0
(
)0
(
<
>
x
x
，
)(i当0
>
x时，x
x
f=
)
(，0
2
1
)
('>
=
x
x
f，0
4
1
)
(''
3
<
-
=
x
x
f，要使Newton迭代法
收敛对于初值
x，需满足0
)
(
<
=x
x
f，显然这样得初值是不存在的，故当0
>
x时，Newton 迭代法不收敛。
)
(ii当0
<
x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0
<
x时，Newton迭代法也不收敛。
所以用Newton
迭代求解方程()(
f x sign x
=
10．写出求解方程
1
()10
f x
x
=-=的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。
（1）
00
20
x x
><
或；（2）
00
20
x x
==
或；（3）
02
x
<<。
解：牛顿迭代格式为：2
2
1
2
1
1
1
)
('
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x-
=
-
-
-
=
-
=
+
)
,2,1,0
(
=
k
k
x
x
x
x
x
k
k
k
k
2
2
2
1
)
1(
)
1(
2
1
1-
=
=
-
=
+
-
=
-
+
)
,2,1,0
(
=
k
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
12解之得：]
)
1(
1[2
k
x
x
k
-
-
=
（1）当
00
20
x x
><
或时，1
|
1|
>
-x，∞
=
-
∞
→
k
x
k
2
)
1(
lim，故迭代序列}
{
k
x不收敛；
（2）当
00
20
x x
==
或时，1
|
1|
=
-x，0
lim=
∞
→
k
k
x，迭代序列}
{
k
x收敛，但不收敛于方程的解；
（3）当2
<
<x时，1
|
1|
<
-x，从而0
)
1(
lim2
=
-
∞
→
k
x
k
，1
lim=
∞
→
k
k
x，迭代序列}
{
k
x收敛，且收敛于方程的解。
11．求分别用下列迭代格式求解方程()0
m x
f x x e
==时的收敛阶。
（1）Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-；（2）迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x m
f x
+
=-。
解：显然0
≠
m，否则()0
m x
f x x e
==没意义。
易知Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-收敛于0
=
α，又
（1）
2
11
()(1)
'()
m x
k k k
k k k m m x
k k
f x m x x
x e
x x x
f x mx x e m x
+-
-+
=-=-=
++
m
m
x
m
x
m
x
x
m
x
x
m
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
1
lim
)1
(
lim
lim
2
1
-
=
+
+
-
=
-
+
+
-
-
=
-
-
∞
→
∞
→
+
∞
→α
α
∴Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-的收敛阶为1
=
p
（2）迭代格式
2
1
()
'()
k k
k k
k k
f x x
x x m
f x m x
+
=-=
+
m
x
m
x
x
m
x
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
1
lim
)
0(
lim
)
(
lim
2
2
2
1=
+
=
-
+
-
=
-
-
∞
→
∞
→
+
∞
→α
α
∴迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x m
f x
+
=-的收敛阶为2
=
p
12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组
3
3
x
x
-=是否收敛？
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