最新高考数学解题技巧大揭秘 专题4 导数的简单应用及定积分(3)

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)． 即a＋1＝1＋解得a＝3，b＝3.

1

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，

41

h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，

41

h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.

4

aa

令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.

26a＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

b，且2a＝3＋b.

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

x h′(x) h(x) ?－∞，－a? 2??＋ a－ 20 ?－a，－a? 6??2－ a－ 60 ?－a，＋∞? ?6?＋ aaaa－∞，－?和?－，＋∞?；单调递减区间为?－，－?. 所以函数h(x)的单调递增区间为?2??66????2a

当－≥－1，即0＜a≤2时，

2

1

函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－

4a2.

aa

当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时，

26

aa

－∞，－?内单调递增，在区间?－，－1?上单调递减，h(x)在区间(－∞，函数h(x)在区间?2???2?a

－?＝1. －1]上的最大值为h??2?

a

当－＜－1，即a＞6时， 6

a?－a，－a?内单调递减，?－a，－1?－∞，－?内单调递增，函数h(x)在区间?在区间在区间2?6???2?6?上单调递增， a11－?－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2＞0， 又因h??2?44a－?＝1. 所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h??2?定积分问题 定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．

【例4】由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )． A.1016

B．4 C. D．6 33

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数．

C [由y＝x及y＝x－2可得x＝4，所以由y＝x、y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为?4(x－x＋2)dx＝

?0

?2x3－1x2＋2x??4

?322??0

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

＝

16.] 3

求定积分的一些技巧：

(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或差，再求定积分；

(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和； (3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分．

1

2x＋?dx＝3＋ln 2，则a的值为( )． 【突破训练4】 若?a?x??

?1

A．6 B． 4 C．3 D．2 答案：D [?a

?1

?a2－1＝3，?12?2x＋?dx＝?x2＋ln x??a

∴a＝2.] x???1＝a＋ln a－1＝3＋ln 2，∴?ln a＝ln 2，??

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

导数法求最值中的分类讨论

由参数的变化引起的分类讨论．对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

1－a21

【示例】已知函数f(x)＝x3＋x－ax－a，x∈R，其中a＞0.

32(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．

[满分解答] (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0. 当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ －1 0 极大值 (－1，a) － a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(5分) (2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区f?－2?＜0，??1间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当?f?－1?＞0，解得0＜a＜. 3??f?0?＜0，10，?.(8分) 所以a的取值范围是??3?1(3)a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由(1)知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在3[1,2]上单调递增． ①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t1

＋3]上单调递减．因此f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t

3＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝5

f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－

3541

－?＝.(12分) 3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－?3?3?3

②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]． 下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小． 由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f(－2)≤f(t)≤f(－1)，

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．

51

又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，

3315

从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－. 334

所以g(t)＝M(t)－m(t)＝. 3

4

综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.

3(14分)

老师叮咛：本题中的第?3?问比较麻烦，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进行分类讨论，注意把握分类的标准，能够确定出函数的最大值和最小值，要求思路清晰，结合第?1?问中的函数的单调性确定函数g?t?的最值.

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典高考高中最新高考数学解题技巧大揭秘 专题4 导数的简单应用及定积分(3)在线全文阅读。