最新高考数学解题技巧大揭秘 专题4 导数的简单应用及定积分(4)

x

【试一试】已知函数f(x)＝(x－k)2e.

k(1)求f(x)的单调区间；

1

(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围． e1x解 (1)f′(x)＝(x2－k2)e. kk令f′(x)＝0，得x＝±k. 当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，－k) ＋ －k 0 4k2e1 －(－k，k) － k 0 0 (k，＋∞) ＋ 所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)． 当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，k) － k 0 0 (k，－k) ＋ －k 0 4k2e1 －(－k，＋∞) － 21世纪教育网所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)． k＋111

(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k<0时，由(1)

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知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.∴≤，∴4k2≤1，∴－≤k<0.故当?x∈(0，

eee211

－，0?. ＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是??2?e

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