2024年普通高考数学科一轮复习精品学案 第33讲 圆锥曲线方程及性

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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第33讲 圆锥曲线方程及性质

一．课标要求：

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

二．命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲，预测2013年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．要点精讲

1．椭圆 （1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）

的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|?|MF2|?2a。

x2y2椭圆的标准方程为：2?2?1（a?b?0）（焦点在x轴上）或

aby2x2?2?1（a?b?0）（焦点在y轴上）。 2ab注：①以上方程中a,b的大小a?b?0，其中c2?a2?b2；

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x2y2y2x2②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件，要分

ababx2y2清焦点的位置，只要看x和y的分母的大小。例如椭圆??1mn22（m?0，n?0，m?n）当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m?n时表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程2?2?1知|x|?a，|y|?b，说明椭圆位于直ab线x??a，y??b所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以?y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,?y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以?x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x，?y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、

,()?b，在椭圆的标准方程中，令x?0，得y??b，则B10y轴的交点坐标。

B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a，即A1(?a,0)，

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的

顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

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由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在

Rt?OB2F2中，|OB2|?b，|OF2|?c，|B2F2|?a，且|OF2|2?|B2F2|2?|OB2|2，

即c2?a2?c2；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e?c叫椭圆的离心率。a∵a?c?0，∴0?e?1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2?y2?a2。

2．双曲线 （1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|?|PF2||?2a）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在0?2a?|F1F2|条件下；|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线；③当2a?|F1F2|时，

||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形；|F1F2|叫做焦距。④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，

椭圆和双曲线比较： 定义 方程 焦点

椭 圆

双 曲 线

|PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|)

x2y2?2?1 2abx2y2?2?1 2ba||PF1|?|PF2||?2a(2a?|F1F2|)

x2y2?2?1 2aby2x2?2?1 2abF(?c,0) F(0,?c) F(?c,0) F(0,?c)

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

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x2y2①范围：从标准方程2?2?1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

abx??a的外侧。即x2?a2，x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。

x2y2②对称性：双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双

abx2y2曲线的对称轴，原点是双曲线2?2?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中

ab心。

x2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里，

ab对称轴是x,y轴，所以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点

x2y2A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2?2?1的顶点。 ab令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为x2y2双曲线的渐近线。从图上看，双曲线2?2?1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接

ab近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a?b；

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