2024年普通高考数学科一轮复习精品学案 第33讲 圆锥曲线方程及性(3)

3 4 B.

45 5C.

83 5 D.

43 3x2y2?（2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，123那么|PF1|是|PF2|的（ ）

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

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a2解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=3，准线方程为x=±，

c∴椭圆中心到准线距离为

43． 3（2）A；不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±33），即|PF2|=，22|PF1|=

147，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。 2点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

题型3：双曲线的方程

例5．（1）已知焦点F1(5,0),F2(?5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程； x2y2（2）求与椭圆??1共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程；

255（3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为

9(3,?42),(,5)，求双曲线的标准方程。 4解析：（1）因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2?2?1(a?0,b?0)， 2ab∵2a?6,2c?10，∴a?3,c?5，∴b?5?3?16。

222x2y2??1； 所以所求双曲线的方程为

916x2y2,(25,，0可)以设双曲线的方程为??1的焦点为(25,0)?（2）椭圆

255x2y222??1，则a?b?20。 a2b2又∵过点(32,2)，∴

182??1。 a2b221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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x2y2综上得，a?20?210,b?210，所以??1。

20?21021022点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量a,b,c之间的关系。

（3）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2?2?1(a?0,b?0)①； 2ab∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①。

?(?42)232?2?1?2b9?a将(3,?42),(,5)分别代入方程①中，得方程组：? 924?25()?2?42?1b?a1?1??11?a216将2和2看着整体，解得?， ab?1?1??b292?y2x2?a?16∴?2即双曲线的标准方程为??1。 169??b?9点评：本题只要解得a,b即可得到双曲线的方程，没有必要求出a,b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。 例6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________. 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与

22x2y2??1；虚轴长之比为5:4，即c:b?5:4，解得c?5,b?4，则双曲线的标准方程是 916点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。 题型4：双曲线的性质

x2y2例7．（1）已知双曲线2?2?1(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

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的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

y2（2）过双曲线M:x?2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条

b2渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )

A.10 B.5 C.

105 D. 32x2y2π

（3）已知双曲线2 － =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为

a23（ ）

2623A.2 B.3 C. D. 33

x2y2解析：（1）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的

ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2a2?b2bb2c，∴ ≥3，离心率e=2?≥4，∴ e≥2，选C。 2aaaay2（2）过双曲线M:x?2?1的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若l与

b2y2双曲线M的两条渐近线x?2?0分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入

b2消元得(b?1)x?2x?1?0，

222?x?x???121?b2∴ ?，x1+x2=2x1x2，

1?x?x?12?1?b2?1?x???14又|AB|?|BC|,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得?，

1?x??2??221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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∴ b2=9，双曲线M的离心率e=

c?10，选A。 ax2y22?3π

（3）双曲线2?则?tan?，∴ a2=6，?1(a>2)的两条渐近线的夹角为3 ，

a63a223

双曲线的离心率为 ，选D。

3

点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x2y2例8．（1）P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4

916和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 （2）双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m? A．?2211 B．?4 C．4 D． 442x，

（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y?那么它的两条准线间的距离是（ ）

A．63 B．4 C．2 D．1

解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。

（2）双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为

22x21??y2?1，∴ m=?，选A。

44（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y? 2x，

?a2?b2?9?a2?3a2??2，选C。 ∴ ?b，解得?2，所以它的两条准线间的距离是2?c?2?b?6??a点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5：抛物线方程

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