高级微观经济学1-3章框架

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第1-3章：消费者理论

一、形式化表述分析消费者偏好的性质

（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）

*二、效用函数存在性证明。请参考教材

三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1?（2，4）时，其需求为x1?（1，2）。当价格为p2?（6，3）时，其需求为x2?（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果x2?（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*2?4*1?8 消费束1偏好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*2?3*1?15 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。如果x2?（1.4，1）时：

p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*1.4?4*1?6.8 消费束1偏好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*1.4?3*1?11.4 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数u(x1,x2)?x1，求瓦尔拉斯需求函数解答：maxu(x1,x2)?x1s.t.p1x1?p2x2?w从效用函数u(x1,x2)?x1可知商

品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，x2?0，x1?w p1或者由maxu(x1,x2)?x1maxu(x1,x2)?maxs.t.p1x1?p2x2?w,可得到

w?p2x2ww?，此时x2?0，x1?(源于消费束的非负限制)p1p1p1实际上，这是一个边角解，

??1?u(x,x)?(x?x1212)，其中0???1；这就是常（或不五、设效用函数

变）替代弹性（CES）效用函数。求：（1）瓦尔拉斯需求函数；（2）间接效用函数；

（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；

（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的；（5）验证罗伊恒等式；（6）求希克斯需求函数；（7）求支出函数；

（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。

（9）验证hi(p,u)?xi(p,e(p,u))（对偶定理）

（1）求瓦尔拉斯需求函数列出拉格朗日函数：

?1?L(x1,x2,?)?(x1??x2)??(y?p1x1?p2x2)

三个一阶条件：

?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x1???1?0?x1；

?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x2???2?0?x2；

?L?y?p1x1?p2x2?0??

整理，得：

x1?x2(p11(??1))p2；y?p1x1?p2x2

求解，得：

(??1)1(??1)p1yp1y2x2??/(??1)x1??/p(??1)?/(??1)?/(??1)p?pp1?p212；

上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义r??(??1)，便可将瓦尔拉斯需求函数化简为：

r?1p1r?1yp2yx1(p,y)?rx2(p,y)?rrrp1?p2；p1?p2

（2）求间接效用函数

将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数：

v(p,y)?[(x1(p,y))??(x2(p,y))?]1?

r?1p1r?1y?p2y?1??[(r)?()]r?1rrrrp1?p2p1?p2?y(p1r?p2)

（3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性；

r?1r) v(tp,ty)?ty((tp1)r?(tp2)r)?1r?y(p1r?p2

?v(p,y)

（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得：

?v(p,y)r?1r?(p1r?p2)?0?y

?v(p,y)r(?1r)?1??(p1r?p2)ypir?1?0,i?1,2?pi

（5）验证罗伊等式：

间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1！

r(?1r)?1?v(p,y)?pi?(p1r?p2)ypir?1(?1)[]?(?1)r?1r?v(p,y)?y(p1r?p2)ypir?1?r?xi(p,y),i?1,2rp1?p2

（6）求解支出最小化问题

minx1,x2p1x1?p2x2?1?u?(x1??x2)?0

s.t.其拉格朗日函数为：

?1?L(x1,x2,?)?p1x1?p2x2??[u?(x1??x2)]

三个一阶条件为：

?L?(1/?)?1??1?p1??(x1??x2)x1?0?x1；

?L?(1/?)?1??1?p2??(x1??x2)x1?0?x2；

?L?1/??u?(x1??x2)?0??

通过消去

?，这些式子被简化为：

?1/??(x1??x2)

x1?x2(令rp11/(??1))p2；u??(??1)，可解出希克斯需求函数：

r(1/r)?1r?1h1(p,u)?u(p1r?p2)p1

r(1/r)?1r?1h2(p,u)?u(p1r?p2)p2

（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数：

e(p,u)?p1h1(p,u)?p2h2(p,u)

r(1/r)?1r?1r(1/r)?1r?1r1/r?up1(p1r?p2)p1?up2(p1r?p2)p2?u(p1r?p2)

（8）从间接效用函数推导出支出函数

rr?1/rv(p,y)?y(p?p12)间接效用函数为：

将v(p,y)替换为u，解出y

r1/rr?1/r) u?y(p1r?p2)；y?u(p1r?p2再将y替换为e(p,u)，得到支出函数为：

r1/re(p,u)?u(p1r?p2)

从支出函数推导出间接效用函数

rr1/re(p,u)?u(p?p12) 支出函数为：

将u替换为v(p,y)，将e(p,u)替换为y，解出v(p,y)。

r1/rr?1/ry?v(p,y)(p1r?p2)?v(p,y)?y(p1r?p2)（9）瓦尔拉斯需求函数为：

p1r?1yx1(p,y)?rrp1?p2，将y替换为支出函数得：

r1/rp1r?1e(p,u)p1r?1u(p1r?p2)x1(p,y)??rrp1r?p2p1r?p2

r(1/r)?1?p1r?1u(p1r?p2)?h1(p,u)

1六、效用函数u(x1,x2)?(x1?x2)，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。答案：

???

1、x1?p1wp1???11??1?p2???1，x2?p1wp2???11??1?p2???1，v(p1,p2,w)?w(p1???1?p2u???1)??1?

2、h1?up1(p1???11??1?p2???11，h2?up2(p1???11??1)??p2???11，e(p,u)?)?(p1???1?p2???11??

七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。请参考教材

*八、证明对偶原理中的1.请参考教材

*九、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集假定{p,w??0}。证明：如果X是一个凸集，则

答案：设x?Bp,w, x'?Bp,w,??[0,1].

令x''=?x+(1-?) x',因为x是一个凸集，所以x''?X. ????x''=?(p?x)+ (1-?)(p?x')≤?w+ (1-?)w=w 故p?

因此，x''?Bp,w.

十、效用函数u(x1,x2)?x1x2，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。

答案：推导斯拉茨基方程需要以下函数：（1）瓦尔拉斯需求函数：（过程省略）

x(p,w)?h[p,v(p,w)]h(p,u)?x[p,e(p,u)]2.

X：Bp,w?{x?X：p?x?w}也是凸集。

。

Bp,ww w；

x2?x1?2p22p1（2）间接效用函数：

v(p,w)?4p1p2（3）希克斯需求函数：

up1 up2；

h2?h1?p2p1（4）验证第一种商品的斯拉茨基方程：

第一步：计算收入效应

w?x11，x??x1?1?w?w 2p1??1?w2p12p14p12?w?w2p1?第二步：计算替代效应（把u替换为间接效用函数）

up2，?h1??1?u?p1/2?p?3/2

h1?212p1?p1代入

w2，得到：

u?v(p,w)?4p1p2?h11ww 1/2?3/2???1/21/2?p2?p1??2?p122p1p24p2第三步：计算总效应

w?x1w 2p1???2?p1?p12p1?第四步：验证总效应=替代效应+收入效应

?x1w，?h1w w，?x1??2?2??2x1??p12p1?p1?w4p14p1显然?x1

1?h1?x1

??x1??p1?p1?w??十一、效用函数u(x1,x2)?(x1?x2)?，求其货币度量的直接和间接效用函数。

1答案：w(p,x)?(x1?x2)?(p1?????1?p2???1)??1?

?(p；q,w)?(p1

???1?p2???1)??1?(q1???1?q2???11??)?w

十二、效用函数u(x1,x2)?x1x2，当p1?2,p2?3,w?40，p1?4,p2?5，

0011求其等价变化和补偿变化。

答案：为了计算等价变化和补偿变化需要：

w2v(p,w)?4p1p2 间接效用函数：

支出函数：e(p,u)?21．先求等价变化：

“老价格，新效用，计算支出函数” 老价格为：p1?2,p2?3

00up1p2

w21600v(p,w)?11??204p1p24?4?5新效用为：

0e(p,u)?2up10p2?220?2?3?430

则等价变化为EV2．补偿变化：

?430?40

“新价格，老效用，计算支出函数”

w21600200v(p,w)?00??4p1p24?2?33 老效用：

11e(p,u)?2up1p2?220010?4?5?4033

补偿变化为：

EV?40?40103

十三、分析福利分析在税收方面的应用。请参考教材

十四、u(x1,x2)?x1x2，假定p1?0.25，p2?1，w?2，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。解答：max u(x1,x2)?x1x2

s.t. x1p1?x2p2?w

1．求瓦尔拉斯需求函数（1）建立拉格朗日函数

L?x1x2??(w-p1x1-p2x2)

（2）求极值一阶条件

?L1?11 (a)

?x12x22?p1??0?x12?L11?1?x12x22?p2??0 (b) ?x22?L?w?p1x1?p2x2?0 (c) ??由(a)和(b)整理得：

(x(x21x)x)121212=p1p2?x2p=1 x1p2（3）瓦尔拉斯需求函数

p1p1x=x分别将x2=x1，1代入预算约束(c)，有 2p2p2wwx1= x2= 2p12p22．求间接效用函数

将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数u(x1,x2)=x1x2，有

v(p1,p2,w)?(3．求支出函数

w12w12w)()?1212 2p12p22p1p2由间接效用函数，求反函数w得：

w=2p112p212v(p1,p2,w)

e(p,u)=2p112p212u 4．求希克斯需求函数

法一：将支出函数

代入瓦尔拉斯需求函数xi=w，得到 2pih1?p1—12p2u h2?p112p2—12u 12法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。 5．求货币度量的效用函数（1）货币度量的直接效用函数

由e(p,u)=2p112p212u，有

w(p,x)=2p112p212u(x1,x2)=2p112p212x1x2

（2）货币度量的间接效用函数

?(p;q,w)?2p112p212v(q1,q2,w)?p112p212q1?12q2?12w

6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

0p10=0.25，p2=1， 11p1=0.25+0.25，p2=1

w1=w0=w=2

等价变化分析：

u0?v(p1,p2,w)??1100w2(p1)12(p2)12w1100?2?2

2(0.25)12(1)12u1?v(p1,p2,w)??2(p1)12(p2)12?2?2 12122(0.5)(1)按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

01Ev?e(p0,u1)?e(p1,u1)=e(p,u)-w

=μ(p0;p1,w)-w

?p???p??p??p?0112021211_2111_22w?w

??0.25?2?1?2?0.5?2?1?2?2?2??0.5858

11_1_1商品税与收入税对消费者的福利之差为:

(?T)?Ev(p0;p1,w)??th(p1,u1)?Ev(p0;p1,w)

??0.25?(p1)—12(p2)12u1?0.5858??0.25?(0.5)—12(1)122?0.5858?0.0858表明商品税对消费者的福利影响更差。补偿变化分析：

按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

11Cv?e(p0,u0)?e(p1,u0)=w-e(p1,u0)

=w-μ(p1;p0,w)

?w?p???p??p??p?1112121210_2110_22w

1?2??0.5?2?1?2?0.25?_2?1?_2?2??0.8284

111商品税与收入税对消费者的福利之差为:

-T?Cv(p1;p0,w)??th(p1,u0)?Cv(p1;p0,w)

??0.25?(p11)—12(p21)12u0?0.8284??0.25?(0.5)—12(1)12?2?0.8284

??0.7074?0.8284?0.1213

表明商品税对消费者的福利影响更差。