高中数学必修二：2-1-4平面与平面之间的位置关系教学设计

【新课教学过程设计（一）】

第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系 第2. 1.4节 平面与平面之间的位置关系

【本节教材分析】 （一）三维目标

1.知识与技能

结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系 2．过程与方法

进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3．情感态度与价值观

进一步培养学生的空间想象能力，培养学生全面思考问题的能力. （二）教学重点

空间平面与平面之间的位置关系。平面与平面的相交和平行. （三）教学难点

用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 （四）教学建议

空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.

【新课导入设计】 导入一：(情境导入）

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ 导入二：（事例导入）

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1

【课堂结构】 提出问题

①什么叫做两个平面平行？ ②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交?

⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.

活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点.

问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点.

②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3

③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β?α∩β=l,且P∈l.

④两个平面相交——有一条公共直线.

⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行?若α∩β=?,则α∥β.

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交?若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4

例题讲解

例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a?α,b?β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.

解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5

例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6

变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( ) A.α、β都平行于直线l、m

B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β 分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7

答案：D

点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.

例3 平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明道理．

解：不正确．如右下图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a，

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a，…，a，…，它们是一组平行线．这时a，a，…，a，…，与平面β都平行，但此时α不

2

n12n平行于β，α∩β＝l.

例4 在以下四个命题中，正确的命题是( )

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行； A．③ B．② C．②③

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D．都不正确

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解析：如图所示正方体ABCD－ABCD中，对于①，平面ADDA中，AD∥平面ABCD，分别取AA、

DD的中点E，F，连结EF，则知EF∥平面ABCD.但平面AADD与平面ABCD是相交的，交线为

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AD，故命题①错．

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对于②，在正方体ABCD－ABCD中的面AADD中，与AD平行的直线有无数条，但平面AADD与

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平面ABCD不平行而是相交于直线AD，故②是错的．

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对于③，在正方体ABCD－ABCD中，取AA，DD，BB，CC中点E，F，G，H，A，B，C到平面EFHG1111

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的距离相等，而△ABC与面EFHG相交，故③是错的．答案：D

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课堂小结

本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种： ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1 B组1、2、3. 当堂检测：

1．设三条互相平行的直线a、b、c中，a?α，b?β，c?β，则α与β的关系是( )

A．相交 C．平行或相交

B．平行

D．平行、相交或重合

2．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是( )

A．平行 C．异面

B．相交

D．平行或相交或异面

3．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 C．2个

4．下列命题中，正确的个数是( )

①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b异面； ③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面． A．1 C．3

B．2 D．4 B．1个 D．3个

5．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作________个．

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