5-1~5-2正余弦定理和解三角形.题库

好学者智，善思者康

400-810-2680

正余弦定理和解三角形

高考要求

正余弦定理和解三角形的实际应用

要求层次 C C 重难点 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题 正余弦定理 解三角形 例题精讲

板块一：正弦定理和余弦定理

(一) 知识内容

1.直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a. (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A＋B＝90°； (3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)

abasinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝.

ccb2.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边. (1)三角形内角和：A＋B＋C＝π.

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

abc???2R.(R为外接圆半径) sinAsinBsinC(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

?b2?c2?a2,?cosA?2bc222?a?b?c?2bccosA,?a2?c2?b2?2?22, ?b?a?c?2accosB,??cosB?2ac?c2?a2?b2?2abcosC.??a2?b2?c2?.?cosC?2ab?3.三角形的面积公式：

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111(1)S△＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高)；

222111(2) S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

222a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB(3) S△＝＝＝；

2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)(4) S△＝2R2sinAsinBsinC.(R为外接圆半径) (5) S△＝

abc； 4R??12??(6) S△＝s(s?a)(s?b)(s?c)；?s?(a?b?c)?；(海伦公式) (7) S△＝r·s. 4.解三角形：

由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C. (1)角与角关系：A+B+C = π；

(2)边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a-b < c，b-c < a，c-a > b； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. 6.推论：正余弦定理的边角互换功能

①a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC ②sinA?③

abc，sinB?，sinC? 2R2R2Rabca?b?c==2R ??sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC④a:b:c?sinA:sinB:sinC

⑤sin2A?sin2B?sin2C?2sinBsinCcosA

22B?sinC? sin2siAn?2CsinAsi nBcossin2C?sin2A?sin2B?2sinAsinBcosC

7.三角形中的基本关系式：

sin(B?C)?sinA,cos(B?C)??cosA，

sinB?CAB?CA?cos,cos?sin 2222(二)主要方法：

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1.通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.

2.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 .

(三)典例分析：

????????????15【例1】 （2009岳阳一中第四次月考）．已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，S?ABC?，

4??a?3,b?5，则?BAC?（ ）

A．30?

【变式】 （2009浙江理）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos

B．?150?

C．150°

D． 30?或150°

????????AB?AC?3．

（1）求?ABC的面积；

（2）若b?c?6，求a的值．

?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos【变式】

A25， ?25B?C取得最大值，并求出 2 这个最大值.

【变式】 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，

bsinB 求∠A的大小及的值.

c

【变式】 已知在?ABC中，a?23，B?45o，c?6?2，解此三角形.

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【变式】 已知：?ABC中,a?3,b?5,c?7求：?ABC中的最大角.

【变式】 已知△ABC中，AB=1，BC=2，则求角C的取值范围.

【例2】 在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

【变式】 在△ABC中，若acosA?bcosB，试判断此三角形的形状.

【变式】 在△ABC中，若(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)，则判断△ABC的形状.

2222

【例3】 若△ABC的三条长分别是3，4，6，求它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形

的面积比.

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【例4】 已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.

【例5】 在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x?23x?2?0的两个根，且2cos(A+B)=1求：

2

(1)角C的度数； (2)AB的长度； (3)△ABC的面积.

【变式】 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

【变式】 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

【教师选做】证明海伦公式

<教师备案>1.海伦公式的变形形式：

S=p(p?a)(p?b)(p?c)

141 =41 =41 =41 =4 =(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a) [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2]

⑤

① ② ③ ④

(a2?b2?c2?2ab)[?(a2?b2?c2?2ab)] 4a2b2?(a2?b2?c2)2

2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 5-1~5-2正余弦定理和解三角形.题库 page 5 of 12

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