5-1~5-2正余弦定理和解三角形.题库(2)

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2.海伦公式的其他证明方法 证一 勾股定理

1分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式.

2证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: ?x?a?y?222?ha?b?y?222?ha?c?xAcbhaC

22a?c?b2a2?c2?b2x =， y =

2a2a4a2b2?(a2?c2?b2)2(a2?c2?b2)2ha =b?y=b?=

2a4a2222BxDy4a2b2?(a2?c2?b2)2111∴ S△ABC =aha=a×=4a2b2?(a2?b2?c2)2

2a224 此时S△ABC为变形④，故得证.

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha. 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 b2u?cv2 t 2 = ?uv

a 证明：由证一可知，

Aa2?b2?c2a2?b2?c2Bu =，v =

2a2ab2a2?b4?b2c2?c2a2?c2b2?c4a4?(b2?c2)22∴ha= t 2 =-

2a24a22a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c411∴ S△ABC =aha =a × 2a221=2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 4 此时为S△ABC的变形⑤，故得证.

DC证三：余弦定理 即本题所采用证法. 证四：恒等式

分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式.

C恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么

ABACBCx tan· tan+ tan· tan+ tan· tan= 1

x222222rAr证明：如图，tan = ① y2Brtan = ②

z2zB yz y page 6 of 12 A5-1~5-2正余弦定理和解三角形.题库

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Cr = ③

x21111???根据恒等式，得： ABCABCtantantantan?tan.tan222222x?y?zxyz①②③代入，得： ?3

rr∴r2(x+y+z) = xyz ④

tan

如图可知：a＋b-c = (x+z)＋(x+y)-(z+y) = 2x

a?b?cb?c?aa?c?b∴x =,同理：y = z =

222a?b?c(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)代入④，得： r 2 ·=

28a?b?c两边同乘以，得：

2(a?b?c)2(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)2

r ·=

164a?b?c1两边开方，得： r ·=(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b) 24a?b?c左边r ·= r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证.

2证五：半角定理 半角定理：tan

(p?c)(p?b)A= p(p?a)2CxxrzBzyyA(p?c)(p?a)B tan= p(p?b)2 tan

(p?a)(p?b)C= p(p?c)2(p?c)(p?b)rA==，

yp(p?a)2证明：根据tan∴r =(p?c)(p?b)× y ①

p(p?a) 同理r =(p?a)(p?b)(p?c)(p?a)× z ② r =× x ③

p(p?c)p(p?b)(p?a)(p?b)(p?c)×xyz

p3①×②×③,得： r3 = ∵由证一，x =

b?a?cb?a?c=-c = p-c 22b?a?cb?a?cy ==-a = p-a

22a?b?cb?a?cz ==-b = p-b

22(p?a)(p?b)(p?c)[(p?a)(p?b)(p?c)]3 ∴ r3 = ∴ r = pp35-1~5-2正余弦定理和解三角形.题库 page 7 of 12

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∴S△ABC = r·p =p(p?a)(p?b)(p?c) 故得证. 3.海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形

a?b?c?d内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,

2则S四边形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d) 现根据猜想进行证明.

证明：如图，延长DA，CB交于点E. 设EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3,∴△EAB～△ECD ∴

S?EABefbb== =22

S四边形ABCDd?ba?ef?cd2Eb(ab?cd) ①

d2?b2b(ad?bc)f =22 ②

d?b解得： e =

AaD12bBc3dd2?b2由于S四边形ABCD =S△EAB

b2b(d2?b2)将①，②跟b =22代入公式变形④，得：

d?bd2?b2∴S四边形ABCD =4e2b2?(e2?b2?f2)2 24bd2?b2=

4b2d2?b2=

4b2Cb4(ab?cd)2(d2?b2)2b2(ab?cd)2b2(d2?b2)2b2(ad?bc)224?[(??)] (d2?b2)4(d2?b2)2(d2?b2)2(d2?b2)2b44(ab?cd)2(d2?b2)2?[(ab?cd)2?(d2?b2)2?(ad?bc)2]2? 224?(d?b)=====

14(d2?b2)14(d2?b2)14(d2?b2)14(d2?b2)4(ab?cd)2(d2?b2)2?[{ab?cd}2?{d2?b2}2?{ad?bc}2]2 4(ab?cd)2(d2?b2)2?(a2b2?c2d2?d4?b4?2d2b2?a2d2?b2c2) 4(ab?cd)2(d2?b2)2?[b2(a2?b2?d2?c2)?d2(d2?b2?a2?c2) (d2?b2)2[4(ab?cd)2?(c2?d2?b2?a2)2] 1(2ab?2cd?c2?d2?b2?a2)(2ab?2cd?d2?b2?a2?c2) 41=[(a?c)2?(b?d)2][(b?d)2?(a?c)2] 41=(a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a) 4=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d) 所以，海伦公式的推广得证.

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4.海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.

【例6】 如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =

33,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 4BabdODcC求：四边形可能为等腰梯形. 板块二：正余弦定理的实际应用

A(一) 知识内容

解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两解，如两边和一个非两边夹角．大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括： 已知条件 一边和二角 (如a,B,C) 两边和夹角 (如a,b,C) 三边 (如a,b,c) 两边和其中一边的对角(如a,b,A) 定理选用 正弦定理 一般解法 1由A+B+C＝180°，求角A，由正弦定理求出b与c，S??acsinB，2在有解时只有一解 由余弦定理求第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C余弦定理 1＝180°，求出另一角．S??absinC．在有解时只有一解 2由余弦定理求出角A,B，再利用A+B+C＝180°求出角C，余弦定理 1S??absinC，在有解时只有一解 2由正弦定理求出角B由A+B+C＝180°，求出角C．再利用正弦定理正弦定理 1求出c边．S??absinC．可有两解，一解，或无解． 2(二)典例分析

【例7】 如图所示,已知在梯形ABCD中(AB//CD)，CD=2,AC=19,?BAD?60o,求梯形的高DE.

DCAEB

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【变式】 在△ABC中，已知AB?4，AC?7，BC边上的中线AD?7，那么求BC为多少. 2

【变式】 在△ABC中，已知AB?466,cosB?,AC边上的中线BD=5，求sinA的值. 36

【变式】 (98年高考题)已知△ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边，且a+c=2b,A–B=60o,求sinB的

值.

【例8】 (2009辽宁卷理)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯

塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为750，300，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449)

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