2024年六年级数学思维训练：计数综合四(2)

=792（种）

答：一共有792种熄灯方案．

8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？

【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．

【解答】解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔， 共有

=

=28（个）

中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔， 共有

=

=56（个）

答：三位数共有28个，四位数共有56个．

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？ 【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可． 【解答】解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．

因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，

因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法． 所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒． 10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式） 【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论． 【解答】解：

×2=5×2=10（种）

答：共有10种不同的染色方式．

二．拓展篇

11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

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【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排： 1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合： ①由如为3格的单列三个格子可以排成1个； ②4格可以排成2个； …

可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；

2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：

①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；

②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）； ③384﹣48=336个；所以应该有336个． 【解答】解：6×8×2×4﹣4×6×2 =384﹣48 =336（个）

答：一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．

12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？

【分析】由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共种顺序． 【解答】解：

×

×

种顺序，第二列和第三列依次有

和

种，由此由乘法原理得共

×

×

=35×6

=210（种）

答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序． 13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

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（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ 【分析】（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有

=6（种）；

=24

（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1），有（种）．

【解答】解：（1）

=6（种）

×2=12（种），所以共24+12=36

答：这只青蛙共有6种可能的跳法． （2）

+

×2

=24+12 =36（种）

答：这只青蛙共有36种可能的跳法．

14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？

【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．

【解答】解：一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形， 另一条直线也是如此，也有3个三角形． 以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．

其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）

当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）． 答：从图中最多可以数出210个三角形．

15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【分析】（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；

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当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；

当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；

当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法； …

当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；

共有：18+17+16+…+1=171（种）．

（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法． 【解答】解：18+17+16+…+1=171（种） 20+1=21（种）

答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．

16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？

【分析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．

9

【解答】解：2=512（块）； 答：一共有512种不同的吃法．

17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？ 【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：

当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．

【解答】解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票： 当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）

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答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．

18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？ 【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．

【解答】解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”， 共有

=

=56（种）

答：有56种不同的选法．

19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？ 【分析】考虑两种方法：

①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；

②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

【解答】解：方法一： 四盘都一样：10， 三盘一样：10×9=90，

两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，

两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360， 没有两盘一样的，

=210，

最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）． 方法二：

让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

答：共有715种选菜方案．

20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？ 【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20×

×

种方法；

（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有

×

种．

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