2024年六年级数学思维训练：计数综合四(4)

【分析】（1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下4个白球，将这4个白球放入8个空位之间，看有多少种放法．

①若4个球在一个空位中，只有1种放法； ②若3个球在一个空位中，有7种放法；

③若2个球在一个空位中，另2个球在另一个空位中，有4种； ④若2个球在一个空位中，另外2个球分别在不同的空位中，有

=21种；

⑤若4个球分别在不同空位中，有1+3+3+2+1=10种；

（2）第一步：8个女生人选1人为基准，剩下7人全排列，是女生的排列方法7！；

第二步：男生插入到女生的间隙．每个间隙先放一人，剩下12个人，转变成12人放在8个盘子里，每个盘子至少1人，所以共有7!×

×20!=

种方法．针对每一种方法按每人都不相同，都对应着20！，种．

【解答】解：（1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下4个白球，将这4个白球放入8个空位之间，看有多少种放法．

①若4个球在一个空位中，只有1种放法； ②若3个球在一个空位中，有7种放法；

③若2个球在一个空位中，另2个球在另一个空位中，有4种； ④若2个球在一个空位中，另外2个球分别在不同的空位中，有⑤若4个球分别在不同空位中，有1+3+3+2+1=10种； 一共是1+7+4+21+10=43种； 答：排列方法有43种． （2）7!×答：有

×20!=

（种）

=21种；

种不同的站法．

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参与本试卷答题和审题的老师有：pyl123；73zzx；xuetao；WX321；齐敬孝；奋斗（排名不分先后） 菁优网

2016年5月22日

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考点卡片

1．通过操作实验探索规律 【知识点归纳】

【命题方向】 常考题型：

例：小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结． A、10 B、9 C、8

分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一． 解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有： 10﹣1=9（个）；

答：10根绳子有9个结． 故选：B．

点评：本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．

2．唯一分解定理 【知识点归纳】

（1）整数的唯一分解定理：设a＞1，则必有a=p1p2…pn，其中pi（1≤i≤n）是素数，在不计素数乘积的次序的意义下，表达式是唯一的．

（2）此定理又称作算术基本定理，它是初等数论中最基本的定理之一，是整除理论的中心内容，它反映了整数的本质．

算术基本定理的内容由两部分构成： 分解的存在性；

分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的．

【命题方向】 经典例题：

例1：三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于 81 ．

分析：先把9828分解质因数，即9828=2×2×3×3×3×7×13，因为是三个连续的自然数，因此通过试算得出结论．

解：9828=2×2×3×3×3×7×13=26×27×28 26+27+28=81

答：这三个自然数的和等于81． 故答案为：81．

点评：此题通过分解质因数，通过推算，解决问题．

例2：分母是135的最简真分数共有 72 个．

分析：解答此题首先把135分解质因数，用质因数分别除135算出不是最简真分数（质因数的倍数为分子的不是最简真分数）的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从

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总个数中减去，再加上以135为分子的1个，从135中减去不是最简真分数的总个数即为分母是135的最简真分数的个数．

解：就是求与135互质并且小于135的数有多少，然后加1． 135=3×3×3×5

小于135的数，减去3和5的倍数 3的倍数有3，6，9，…135，共45个 5的倍数有5，10，15…135，共27个 15的倍数15，30…135，共9个 45+27﹣9=63个 135﹣63=72个．

答：分母是135的最简真分数共有72个． 故答案为：72．

点评：本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识．

【解题方法点拨】

几个简单的判别法有助于求一个数的标准分解式： （1）整数a能被2整除的，末尾数字是偶数

（2）整数a能被3整除的，各位数字之和能被3整除 （3）整数a能被5整除的，末尾数字是0或5

（4）整数a能被11整除的，a的奇位数字的和与偶位数字的和之差能被11整除．

3．握手问题 【知识点归纳】

假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手， 则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2， 则N个人握手的次数是N（N﹣1）．

【命题方向】 经典题型：

例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘． A、1 B、2 C、3 D、4 分析：五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数

解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明； 而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下； 乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了； 丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下； 由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘． 故选：B

点评：本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．

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4．组合图形的计数 【知识点归纳】

1．组合图形的概念：

圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图．

2．组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是： （1）合理进行分类．

（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算． （3）将所有的类的数量进行相加． （4）仔细检查，防止遗漏．

【命题方向】 常考题型：

例1：试数出下图有多少个三角形．

【分析】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念找出图中图形的个数． 解：单个三角形组成的三角形有8个， 2个三角形组成的三角形有4个， 4个三角形组成的三角形有4个， 8+4+4=16（个）． 答：有16个三角形．

【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．

5．染色问题 【知识点归纳】

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．

染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点． 两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12

一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6 0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2） 长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

6．逻辑推理 【知识点归纳】

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