【解答】解：（1）20××
=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1 =604800（种）
答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法； （2）
×
=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1
=30240（种）
答：如果站成一圈共有30240种排列方法．
21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．） 【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 【解答】解：2310=2×3×5×7×11，
根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，
第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 答：这样的长方体有25个．
22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？
【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果． 【解答】解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色； 用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4， 每相对的2个面颜色相同，
先涂1个面3种情况，涂对面1种情况， 涂邻面2种情况涂邻面的对面， 涂剩下的2个面1种，
此步情况数N=4×3×2=24（种）
当使用四种颜色，6个面4个颜色：
相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色 换成剩下的那个颜色有24×3=72（种） 所以，总情况数24+72=96（种） 答：共有96种不同的染色方法．
三．超越篇
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23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？
【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案． 【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类
用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：
最多间隔4个白球的有4种不同规格：
类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格． 最多间隔7个白球的有1种规格． 所以，共有不同规格： 2+4+3+2+1=12（种）；
答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．
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24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？ 【分析】它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．
【解答】解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能， 它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2， A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣， 因为第一次交换的是第六位，
所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，
因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；
A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一） 因为第二次交换的是第五位，
所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，
因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；
A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一） 因为第三次交换第四位，
所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个， 因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；
A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一） 因为第四次交换第三位，
所以第三位不能是1，只能是2， 因此有：6﹣2345一种情况； 第二位只能是1：即612345，
第五次交换第二位，结果是162345；
综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有： 4×3×2×1=24（个），
而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一， 故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）． 答：可以进行5次操作的六位数有120个．
25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？
【分析】利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色．先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，○△◇．进一步分情况探讨即可．
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【解答】解：○代表蓝色，△代表黄色，◇代表红色．
先讨论大圆圈与三角的放置，同时考虑对称性，因为翻转后重合的是同一种有： △○△○○；此种有5种 △○○△○；5种． △○○○△；1种．○△○△○；5+3+1=9种．剩下的就会重复，但还有一种要记得，那就是○△△○○；1种．总共5+5+1+9+1=21种．排成一圈的，注意旋转或翻转后重合的为同一种．只有两种．
26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？
【分析】
我们标上字母如图，全排列为
=8！；因为A～B，B～A实质赛程一样；同理C～D，E～F，
7
7
G～H，I～J，K～L，M～N均是，所以重复计算了2．于是，共有8！÷2=315种实质不同的赛程安排．
7
【解答】解：8！÷2=315（种）
答：在比赛前抽签时，可以得到315种实质不同的比赛安排表．
27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？
【分析】根据所示的题意可得出所述情况的几何表示，计点A到点B的方法数，且不能经过AB上面的顶点，从而再由每个同学是不同的可得出最终答案．
【解答】解：现把拿5元的5个小朋友看成是相同的，把拿10元的5个小朋友也看成是相同的，使用我们常用的“逐点累加法”，
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图中每条小横段表示拿5元的小朋友，每条小竖段表示拿10元的小朋友，
要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数，拿5元的要先，且人数不能少于拿10元的，即不能越过对角线AB，
求从A到B的走法的方法数，逐点累加可求出为42，
又由于每个小朋友是不相同的，所以共有42×5！×5！=42×120×120=604800种情况． 答：有604800种排队方法，使售票员总能找得开零钱．
28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：
（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？ （2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？
【分析】要将这个事件分解为两个事件：经理将信件交给秘书，先交来的在最下边；秘书打印信件，先打的在上面． 【解答】解：（1）打印顺序可能情况（数字代表信的编号）
1开头5432、4532、4352、4325、3542、3452、3425、3245、3254、2543、2453、2435、2345、2354，有14种
2开头5431、4531、4351、4315、3541、3451、3415、3145、3154、1543、1453、1435、1345、1354，有14种
3开头5421、4521、4251、4215、2541、2451、2415、2145、2154，有9种 4开头5321、3521、3251、3215，有4种 5开头4321，有1种
综上总计14+14+9+4+1=42种可能． 答：上午打印信的顺序有42种可能．
（2）分析情况：
如果上午只打了1封信：剩下4321
那么一共有：5（76在一起）+6×5÷2（67顺序可以不在一起）=20（这里之前算成21了） 2封信：首先可能剩下的信有4种，321 421 431 432，然后每一种确定了之后他们的顺序也固定了．（同上如剩下321，则1不可能在2之前出现） 那么一共有：4（76在一起）×4+5×4÷2×4=56
3封信：剩下的信可能有4×3÷2=6种，每种确定之后顺序固定（同上） 那么一共有：4×3÷2×6+3×6=54种
4封信：剩下的信可能有4种，顺序固定 那么一共有3×2÷2×4+2×4=20种 总计：21+56+54+20=150种．
答：下午打印信的顺序有150种可能． 29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？
（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）
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