高考复习直线和圆的方程知识点归纳及相关历年高考考题目汇总(3)

N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.

解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.

对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16311=176.因此所

176?6求△AOB内部和边上的整点共有

2=91（个）

图7—2 评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径. 3.答案：D

解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y） ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0 4.答案：C

2解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为2，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的

d?距离为：

|1|sin??12?1sin??1

2?∵θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z

2∴0≤sin2θ＜1 ∴d＞2 ∴d＞r

?∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离． 5.答案：D

解析：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r

|1?a?1|∴

(1?a)?12?1 ∴a＝－1

6.答案：A

解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案． 7.答案：D

解析：如图7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1 ∴|AB|＝1 8.答案：B

方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围

图7—3 ?3(2?3)x???y?kx?3?2?3k???6k?23?2x?3y?6?0?y??2?3k ??3(2?3)?0??2?3k??6k?23?0?∴?2?3k

?x?0?y?0∵交点在第一象限，∴?

3∴k∈（3，＋∞）

??∴倾斜角范围为（6,2）

方法二：如图7—4，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－3），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l

绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.

评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求图7—4 得结果. 9.答案：D

解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C

解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件. ∴选C.

解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a. 由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1 因此所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4

评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视. 11.答案：C

解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A

解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B

解析一：设P=1+bi，则Q=P（±i）， ∴Q=（1+bi）（±i）=±b?i，∴y=±1

解析二：设P、Q点坐标分别为（1，t），（x，y），

ty

①

∵OP⊥OQ，∴12x=－1，得x+ty=0

∵|OP|=|OQ|，∴

1?t2?x?y22，得x2+y2=t2+1 ②

xx2212由①得t=－y，将其代入②，得x2+y2=y+1，（x2+y2）（1－y）=0.

1∵x2+y2≠0，∴1－y=0，得y=±1.

∴动点Q的轨迹为y=±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B

解析：∵点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知x2y＋xy2＝1的曲线关于x=y对称． 15.答案：B 解析：直线（3?＝3?22）x+y=3的斜率k1＝2?3，直线x+（2?3）y=2的斜率k2

2，∴k12k2＝(2?3)(3?2)＝－1．

16.答案：C

解析一：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式（x+2）2＋y2＝1，圆心C（－2，0）．设过原点的直线方程为y=kx，即kx－y=0.

|?2k|由

23k?1＝1，解得k=±3，∵切点在第三象限，

3∴k＞0，所求直线方程为y=3x．

解析二：设T为切点，因为圆心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT

3为Rt△.如图7—5，∴∠COT=30°，∴直线OT的方程为y=3x. 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果. 17.答案：C

图7—5 ???????解析：直线l1的倾斜角为4，依题意l2的倾斜角的取值范围为（4－12，4）∪（4，4+12）

????3即:（6，4）∪（4，3）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（3，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.

18.答案：B

解析：由方程（x+2）2+（y－

2）2=4

图7—6 如图7—6所示，故圆关于y=－x对称 故选B.

评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴. 19.答案：C

3解析：直线y=3x绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y=3x.已知圆的圆心（2，0）到y=3x的距离d=3，又因圆的半径r=3，故直线y=3x与已知圆相切. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C

解析：如图7—7所示，

??3x?y?23?0?22?x?y?4由? 消y得：x2－3x+2=0 ∴x1=2，x2=1

∴A（2，0），B（1，3） ∴|AB|=

图7—7 (2?1)?(0?23)2=2

又|OB|＝|OA|=2

?∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=3，故选C.

评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义. 21.答案：A

A1解法一：当两直线的斜率都存在时，－

B1?2（

A2B2）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.

?A1?0?A2?0或??B?0?B1?0当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，?2，

同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.

如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D. 直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.

评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力. 22.答案：C

sinA解析：由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－

b，k2=sinB.

asinA由正弦定理知k12k2=－

b2sinB=－1，故两直线垂直.

a评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理. 23.答案：C

解析:方程（x－1）2+y2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x=－1和x=3，由于a>0，取a=3.故选C. 评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B

a解析一：若两直线平行，则3?2?1?2?2，

解得a＝－6，故选B.

解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.

评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A

解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限. 当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，

图7—8 当直线l过圆心与原点时，k=2. ∴当k∈［0，2］时，满足题意.

评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B

解析：A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能

x用方程a?yb=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.

评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C

解析：将两圆方程分别配方得（x－1）2＋y2＝1和x2＋（y－2）2＝4，两圆圆心分别为O1（1，0），O2（0，2），r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝1?2?225，又1＝r2－r1＜5＜r1＋r2＝3，

故两圆相交，所以应选C.

评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D

解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.

评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B

|?5|解析：直线方程可化为2x－y=0，d=

5?5.

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