扬州市2024届高三第四次调研测试数学卷(2)

⑵在平面PAD内过P作PH?AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD?平面ABCD=AD，

PH?平面PAD，所以PH?平面ABCD， ???????9分 又BD?平面ABCD，所以PH?BD，又PA⊥BD，

且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD?平面PAD，…………………12分 又AD ?平面PAD，所以BD ? AD. …………………14分

?所在圆的半径为（17. 解：（1）设弧BCD,由题意得r=5?(r?1),?r?13. rr?0）222?所在圆的半径为13米。 ???????4分 即弧BCD（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系。

?H?6米，BD?10米，弓高h?1米，

?所在圆的方程为x2?(y?b)2?r2(r?0) ?B(?5,5)，D(5,5)，C(0,6) ，设BCD22??b??7?(6?b)?r则?2 ??22??r?13?5?(5?b)?r?的方程为x2?(y?7)2?169(5?y?6)?弧BCD ???????6分

设曲线AB所在抛物线的方程为：y?a(x?m)， ???????8分

2?m2)? ???????10分 ?点B(?5,5)在曲线AB上 ?5?a(5?与曲线段AB在接点B处的切线相同,且弧BCD?在点B处的切线的斜率为又弧BCD由y?a(x?m)得y??2a(x?m)，?2a(?5?m)?25， 125， 12?2a(5?m)??5 ? ???????12分 12由??得m??29， ?A(?29,0)，E(29,0)

?桥底AE的长为58米 ???????13分 ?所在圆的半径为13米； 答：（1）弧BCD（2）桥底AE的长 58米。 （答和单位各1分） ???????14分

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??a?2?a?2??22218. 解：（1）由题意得?a?b?c ，解得?b?3 ?1?c?19???2?1?44bx2y2?1 ???????4分 ?椭圆E的标准方程：?43k?0?点C在x轴下方 （2）??CF1F2为等腰三角形，且

1° 若FC?F2C，则C(0,?3)； 12° 若F1F2?CF2，则CF2?2，?C(0,?3)； 3° 若FC?F1F2，则CF1?2，?C(0,?3) 1?C(0,?3)

8??y?3(x?1)x??x?0?5?2??2得或 ?直线BC的方程y?3(x?1)，由?x??y??1?y??3?y?33??3?4?5?833?B(,) （不讨论扣2分） ???????9

55分

（3）设直线AB的方程lAB:y?k(x?2)，

?y?k(x?2)?2222由?x2y2得(3?4k)x?16kx?16k?12?0

?1??3?416k2?12?8k2?6?xA?xB??2xB? ?xB?

3?4k23?4k2?yB?k(xB?2)?12k3?4k2

??8k2?612k??B?, ???????11分 22?3?4k3?4k??AB不垂直； （1，）?kCF1??，若k=，则?B，?C(1,-)，?F,1(-1,0)，?FC1与

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1232323414k1?k?，k??，， ?F2(1,0)，kBF2?CF121?4k2k?直线BF2的方程lBF2:y?4k1(x?1)l:y??(x?1) ，直线的方程：CFCF111?4k2k?x?8k2?1 ??y??8k由

4k?y?(x?1)2??1?4k??y??1(x?1)?k?解得

?C(8k2?1,?8k) ???????13分

1(8k2?1)2(?8k)2??1，即(24k2?1)(8k2?9)?0，即k2?又点C在椭圆上得

2443?k?0，?k?分

19. 解析：（1）y?x?1 ???????3分

（2）f(x)?lnx?a(x2?3x+2)，定义域为(0,??)

6 ???????161212ax2?3ax?1f?(x)??a(2x?3)?，设g(x)?2ax2?3ax?1，

xx① 当a?0时，g(x)?1，故f?(x)?0，

所以f(x)在(0,??)上为增函数，所以无极值点. ???????4分

2②当a?0时，??9a?8a，

若0?a?值点. 若a?8时??0，g(x)?0，故f?(x)?0，故f(x)在(0,??)上递增，所以无极98时??0，设g(x)?0的两个不相等的实数根为x1,x2，且x1?x2， 9且x1?x2?33，而g(0)?1?0，则0?x1??x2， 24?x)?0,f(x所以当x?(0,x1),g(x)?0,f()单调递增；

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当x?(x1,x2),g(x)?0,f?(x)?0,f(x)单调递减； 当x?(x2,??),g(x)?0,f?(x)?0,f(x)单调递增.

所以此时函数f(x)有两个极值点； ???????7分

③当a?0时??0，设g(x)?0的两个不相等的实数根为x1,x2，且x1?x2，

但g(0)?1?0，所以x1?0?x2，

?x)?0,f(x所以当x?(0,x2),g(x)?0,f()单调递増；

当x?(x2,??),g(x)?0,f?(x)?0,f(x)单调递减. 所以此时函数f(x)只有一个极值点。 综上得：

当a?0时f(x)有一个极值点； 当0?a?当a?8时f(x)的无极值点； 98时，f(x)的有两个极值点. ???????9分 98时，由（2）知f(x)在[1,??)上递增， 9（3）方法一： 当0?a?所以f(x)?f(1)?0，符合题意； ???????10分 当

8?a?1时，g(1)?1?a?0,x2?1，f(x)在[1,??)上递增，所以f(x)?f(1)?0， 9符合题意； ???????12分

当a?1时，g(1)?1?a?02x,?，1所以函数f(x)在(1,x2)上递减， 所以

f(x)?f(1?)，0

不符合题意； ???????14分

22lx?x?1，当a?0时，由（1）知n于是f(x)?lnx?a(x?3x+2)?x?1?a(x?3x+2)

当x?2?12时，x?1?a(x?3x+2)?0，此时f(x)?0，不符合题意. a综上所述，a的取值范围是0?a?1. ???????16分

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方法二：g(x)?2ax2?3ax?1，注意到对称轴为x?3，g(1)?1?a， 4当0?a?1时，可得g(x)?0，故f(x)在[1,??)上递增，所以f(x)?f(1)?0，符合题意；

当a?1时，g(1)?1?a?02x,?，1所以函数f(x)在(1,x2)上递减， 此时 f(x)?f(1?)，0不符合题意；

lx?x?1，当a?0时，由（1）知n于是f(x)?lnx?a(x2?3x+2)?x?1?a(x2?3x+2)

当x?2?1时，x?1?a(x2?3x+2)?0，此时f(x)?0，不符合题意. aa?a211?1?，，当n?2时，a1?a2?pa2a3，a3?1

ppa2p综上所述，a的取值范围是0?a?1. ???????16分 20. 解：（1）当n?1时，a1?pa1a2，a2?2由a2?a1a3得

11?1?52?1?p?，即，解得：。 ???????3p?p?1?0p2p2分

（2）由2a2?a1?a3得p?

11，故a2?2，a3?3，所以Sn?anan?1， 2211当n?2时，an?Sn?Sn?1?anan?1?an?1an，

22因为an?0，所以an?1?an?1?2 ???????6分

故数列{an}的所有奇数项组成以1为首项2为公差的等差数列， 其通项公式an?1?(n?1 ???????7分 ?1)?2?n，

2同理，数列{an}的所有偶数项组成以2为首项2为公差的等差数列，

n其通项公式是an?2?(?1)?2?n ???????8

2分

所以数列{an}的通项公式是an?n ???????9分

n?1（3）an?n，在n与n?1间插入n个正数，组成公比为qn的等比数列，故有n?1?nqn，

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