江苏省连云港市赣榆区2024届高三数学下学期周考7(4)

由正弦定理得cosAsinB + 2cosAsinC + cosBsinA = 0，即sin(A + B) + 2cosAsinC = 0， 因为A + B = ?– C，所以sin(A+B)=sinC,即sinC + 2cosAsinC = 0．

又因为C∈(0，?)，所以sinC > 0，所以cosA = - 1

2． ????5分

因为A∈(0，?)，所以A = 2

3

?． ????7分

??cosA??12?b2?2c2?a2，（2）由?bcc?8，????9分，解得??b??a = 43． ?b = c = 4????12分

a?43???

所以S = 12bcsinA = 1

2

hAC，所以h = 23． ????14分

16.证明：（1）∵AB?AC，点D是线段BC的中点，∴AD⊥BC．???????2分

又∵平面BB1C1C?底面ABC，AD?平面ABC，平面BB1C1C?底面ABC?BC， ∴AD⊥平面BB1C1C．?????????????????????????5分 又CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1．???????????????????7分 （2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，DE．

在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边∴点E为AB1

1C的中点．

B1 ∵点D是BC的中点，∴DE//BC11B，DE?12B1B． ??10分

M 又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点， E ∴AM//B1B，AM?12B1B．∴AM// DE，AM?DE． A B ∴四边形ADEM是平行四边形．

D

C （第16（2）题图）

∴EM // AD．????????????????12分 又EM?平面MBC1，AD?平面MBC1，

∴AD //平面MBC1．?????????????14分 17.（1）由题意可知

16

??c1a? ??92?????????????2分

??14?a2?b2?1又因为a2?b2?c2

解之得a?2,b?3，所以椭圆的方程为x24?y23?1?????????????4分 （2）因为AM的斜率存在，设AM的为k,则AM的方程为y?k(x?2)

??y?k(x?2)?x22??4?y3?1得yM?12k3?4k2?????????????6分 令x?4得P(4,6k)，kAP?3k,则BP方程为y?3k(x?2)

??y?3k(x?2)?x22?12k??4?y得yN?2?????????????8分 3?112k?1因为MQ??QN，所以???yM12k2?18y=?4k2?3?3?4k2???????????12分N3因为k?0所以????1,3???3??????????????14分

18.解（1）?当?????0,??4??时：?ED?2?,

EF?22?cos? 所以f(?)?2a??2a(2?2cos?)?????????????3分

?当

??????4,??2??时：?ED?FA??BC??4???2EF?2cos? ,

所以

f(?)????4????2??a?2a?4cos??????????????6分 ??2a???2?2cos????????由??可得f(?)????0,4??????????8分?

a??4????????????4?8cos????4,??2?? 17

（2）?当????0,???4??时,f?(?)?2a(1?2sin?),

因为a?0所以

列表：

?? ????0,6??? ????6,??4?? 6f'???? 0 ? f??? ? 极大值 ? 所以在????6时，f(?)有最大值?22?23????3??a????????????11分 ?当

??????4,??2??时：f?(?)?a?4?8sin?? 因为a?0,sin????2??2,1??，所以f?(?)?a???4?8sin???0 所以f(?)在??????4,??2??时单调递减所以f(?)?f(?4) ???????14分

又因为f(?4)?f?????6?? 所以当?????0,??2??时，在???6时，f(?)有最大值?????22?23?3??a

答:在???时，商业街总收益最大为??22?23???6?3??a元??????????16分 19.（1）由题意可知an?2n

an?3?2n?6，an?a3?2n?6所以an?3?an?a3

所以{an}为“3阶可分拆数列”；????????????3分 （2）因为数列{ann}的前n项和为Sn?2?a?a?0?

18

当n?1时，a1?2?a；当n?2时，an?1n?Sn?Sn?1?2

所以a??2?an?1n??2n?1n?2????????????5分 因为存在正整数n得an?1?a1?an成立

?当n?2时2n?2n?1?2?a即2n?1?2?a 因为n?2，2n?1?2?a?2

所以a?0，而a?0所以不存在正整数n（n?2）使得an?1?a1?an成立????7分?当n?1时2?4?2a，得a?1

所以a?1时存在正整数n?1使得an?1?a1?an成立

由??得a?1 ????????????9分 （3）假设存在m使得若数列{an}为“m阶可分拆数列” 即存在确定的正整数m，存在正整数n使得am?n?am?an成立

2m?n??m?n?2?12?2m?m2?12?2n?n2?12

?2m?1??2n?1??2mn?13 ????????????11分

?当m?1时，2n?1?2n?13，n?3时方程成立

?当m?2时3?2n?1??4n?13

当n?1时3?2n?1??4n?7；当n?2时3?2n?1??4n?17

当n?2时3?2n?1??4n?17，所以不存在正整数n使得am?n?am?an成立 ?当m?3时7?2n?1??6n?13，当n?1时7?2n?1??6n?13成立 ④当m?4时?2m?1??2n?1??2mn?15?2n?1??8n?23 所以不存在正整数n使得am?n?am?an成立

综上：m?1或3 ????????????16分 20.解：（1）由题意可知，lnx?1?x． 令??x??lnx?x?1，x?0．故?'?x??11?xx?1?x．????2分 列表：

19

1??0，x 1 ????1， 0 极大值? ?'?x? ? ??x? ? f?1??0 ? 所以，方程lnx?1?x有唯一解x?1．

所以函数f?x??lnx?1的不动点为1．??????????????????4分

?bx02?cx0?3?x0?（2）① 由题意可知???????????????????6分

2bx?c?x，?00?消去c，得b?311?5?b???1，，所以x?[,2]0?4,11?．??????????8分 x02x02??② h?x??g'?x??3ax2?2bx?c．

由题意知m，h?m?，h?h?m??，hh?h?m??成各项都为正数的等比数列，

???h?m??qm，??故可设公比为q，则?h?h?m???qh?m?，

?hh?h?m???qh?h?m??，????故方程h?x??qx有三个根m，h?m?，h?h?m??．????????????11分 又因为a?0，所以h?x??g'?x??3ax2?2bx?c为二次函数，

故方程h?x??qx为二次方程，最多有两个不等的根．则m，h?m?，h?h?m??中至少有两个值相等．??????????????????????????13分

当h?m??m时，方程h?x??x有实数根m，也即函数h?x?存在不动点，符合题意；

当h?h?m???m时，则qh?m??m，q2m?m，故q2?1，又因为各项均为正数，则q?1，也即

h?m??m，同上，函数h?x?存在不动点，符合题意；

当h?h?m???h?m?时，则qh?m??qm，h?m??m，同上，函数h?x?存在不动点，符合题意； 综上所述，函数h?x?存在不动点．???????????????????16分

20

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