第7章 模拟信号的数字传输习题答案

第7章 模拟信号的数字传输

7.1 学习指导 7.1.1 要点

本章的要点主要有抽样定理；自然抽样和平顶抽样；均匀量化和非均匀量化；PCM原理，A律13折线编码，译码；ΔM原理，不过载条件；PCM，ΔM系统的抗噪声性能；PCM与ΔM的比较；时分复用和多路数字电话系统原理；

1. 概述

为了使模拟信号实现数字化传输，首先要通过信源编码使模拟信号转换为数字信号，或称为―模/数转换‖即A/D转换。模/数转换的方法采用得最早而且应用较广泛的是脉冲编码调制(PCM)，PCM通信系统原理图如图7-1所示。

模拟信号PCM信号抽样量化器编码器数字通信系统PCM信号 译码器低通滤波器模拟信号图7-1 PCM通信系统原理图

由图7-1可见，PCM系统由以下三部分组成。 (1) 模/数转换（A/D转换）

模/数转换包括三个步骤：抽样(Sampling)、量化(Quantization)和编码(Coding)。

a. 抽样是把在时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的抽样信号，抽样信号在时间上是离散的，但是其取值仍然是连续的，所以是离散模拟信号。

b. 量化。量化是把幅度上连续的抽样信号转换成幅度离散的量化信号，故量化信号已经是数字信号了，它可以看成是多进制的数字脉冲信号。

c. 是编码。编码是把时间离散且幅度离散的量化信号用一个二进制码组表示。 (2) 数字方式传输——基带传输或带通传输；

(3) 数/模转换（D/A）——将数字信号还原为模拟信号。包含了译码器和低通滤波器两部分。

2.抽样定理

为模拟信号的数字化和时分多路复用（TDM）奠定了理论基础。根据抽样的脉冲序列是冲激序列还是非冲激序列，抽样可以分为理想抽样和实际抽样。

抽样是按照一定的抽样速率，把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。能否由此样值序列重建源信号，取决于抽样速率大小，而描述这一抽样速率条件的定理就是著名的抽样定理。

(1) 低通信号的抽样定理

定理：设有一个频带限制在（0，fH）内的连续模拟信号m(t)，若以Ts≤1/(2fH)间隔对它抽样，则m(t)将被这些抽样值所完全确定。此定理又称均匀（等间隔）抽样定理。

含义：欲传信号m(t)，只需传抽样信号ms(t)接收端就能恢复m(t)，其条件是： 抽样间隔Ts≤1/(2fH)，或抽样速率fs ≥2fH 其中fs=1/Ts。

①理想抽样信号ms(t)可表示为：

ms(t)=mdT()=t()tsn=- ?￥nd(T-(m)s T (7-1) t)s n式中，dT(t)是周期为Ts的冲击函数序列，因此称ms(t)为理想抽样信号。

s ms(t)的频谱为:

1 Ms(f)=Ts1dt?式中，M(f)?m(t)，Ts()Tsゥ轾1犏M(f)*邋d(f-nfs)=犏Tsn=-?臌￥M(f-nfs) (7-2)

?d(fnfs)，Ms(f)?ms(t)。

- 式(7-2)表明，抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而

成，只要fs ≥2fH ，则Ms(f)中相邻的M(f-nfs)之间互不重叠，而位于n=0的频谱就是原信号频谱M(f)本身。这时，在接收端用一个低通滤波器，就能从Ms(f)中取出M(f)，也就是说能从抽样信号中恢复原信号m(t)。若抽样速率fs < 2fH，则会产生混叠失真。 最低抽样速率fs=2fH，称为奈奎斯特（Nyquist）速率。与此相应的最大抽样时间间隔T=1/(2fH)称为奈奎斯特间隔。

实用的抽样频率fs必须比2fh大多一些。例如，典型的电话信号的最高频率通常在3400Hz，而抽样频率通常采用8000Hz。

(2) 带通信号的抽样定理

定理：设带通型模拟信号m(t)的最高频率为fH，最低频率为fL，其带宽B=( fH – fL )与fH的关系可表示为

fH=nB+这时，带通模拟信号所需的最小抽样频率fS为

骣k÷ fS=2B?1+÷ (7-4) ??桫n÷ (7-3) k B式中，n为商(fH/B)的整数部分；k为商(fH/B)的小数部分，0

②实际抽样

由于冲击序列δTs(t)不能实现，通常采用窄脉冲串代替冲击序列。用窄脉冲序列进行实际抽样的两种方式是：自然抽样和平顶抽样。

a.自然抽样

自然抽样的各个脉冲有一定的宽度，脉冲顶部随m(t)相应时段的值―自然波动‖。自然抽样是基带模拟信号m(t)与矩形窄脉冲序列s(t)的乘积。

设m(t)的频谱为M(f)，s(f)的周期为Ts（按照抽样定理确定），频谱为S(f)、脉冲宽度为

τ，幅度为A，则自然抽样信号ms(t)为m(t)与s(t)的乘积，即

ms(t)?m(t?)s( t ) (7-5) 抽样信号ms(t)的频谱就是两者频谱的卷积：

Aτ￥=()f*(S)f Ms(f)=M?Tsn=-式(7-6)中，fs=1Ts=2fH。

Sτas)n(fM-)fs n(p f (7-6)

可见，经过截止频率合适的理想低通滤波器，就可以从抽样信号ms(t)中无失真地恢复原

始的模拟信号了。

自然抽样信号的第一零点带宽为

1

B?(Hz) (7-7)

?其中τ为窄脉冲序列s(t)的脉冲宽度。

b.平顶抽样

平顶抽样与自然抽样的不同之处在于抽样后信号中的脉冲顶部是平坦的，脉冲幅度等于瞬时抽样值。原理上可以看作由理想抽样和脉冲形成电路产生，如图7-2所示。

ms(t)m(t)ms(t)保持电路mH(t)-TsOTsts(t)(b) 平顶抽样框图(a) 平顶抽样示意图图7-2 平顶抽样及其框图

设保持电路的传输函数为H(f)，则平顶抽样信号mH(t)的频谱MH(f)为：

MH(f)?Ms(f)H( f ) (7-8) 其中，Ms(f)的表达式与理想抽样相同，即

1￥ Ms(f)=?M(f-nfs) (7-9)

Tn=- 于是

1￥ MH(f)=H(f)M(f-nfs) (7-10) ?Tn=- 由式(7-10)可见：平顶抽样信号的频谱MH(f)由H(f)加权后的周期重复的M(f)组成，因此不能直接用低通滤波器恢复（解调）原信号。但只要在低通滤波器之前加一个传输函数为1/ H(f)的修正滤波器，就能无失真地恢复原模拟信号m(t)。

3. 量化

量化是将抽样信号幅值进行离散化处理的过程。量化后，无限个模拟抽样值变成了有限

个量化电平值。

量化过程可以认为是在一个量化器中完成的。量化的具体过程如图7-3所示，其中包括下面几个要点：

(1) 量化器把整个输入区域划分成多个区间；对落入每个区间的输入，以同一个yi值作为输出，yi被称为输出电平；

(2) 各区间之间的分界记为xi，称为分层电平或阈值电平；

(3) 所分区间的个数记为M，称为量化电平数；实际上M常常取为2的幂次，不妨记为M = 2n，n称为量化器的位数(或比特数)。

yy7y6y5y4x0x1x2x3y3x4y2y1y0图7-3 量化器特性曲线x5x6x7x8量化过程可以表达为

y?Q(x)?Q?xi?x?xi+1??yi,i?1,2,,M (7-11)

式中，xi为分层电平。通常把Δi = xi+1 - xi称为量化间隔。

显然，在量化过程中，量化输出电平yi和量化前信号的抽样值x(kTs)之间会产生误差，这种误差称为量化噪声。它对量化性能影响的程度可以用量化信噪比来衡量。量化信噪比被定义为

2E?x(kTs)?S0?? (7-11) ?

NqE?x(kTs)?yi?2式中， S0为量化器输出的信号功率； Nq为量化噪声功率。

1) 均匀量化

把输入信号的取值域等间隔分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平均取在各个区间的中点。

均匀量化是一种最基本的量化方法。假定量化器的最大量化范围为[-V, +V]，M个量化电平的均匀量化器的结构特点如下：

(1) 把整个输入区域均匀地划分为M个区间，各量化间隔（区间长度）相等，记为Δ，则

??2V (7-12) M(2) M?1个分层电平（端点）等间距排列，取值为

xi??V?i?,i?0,1,2,M (7-13)

(3) 量化输出电平一般取各区间的中点，取值为

xi?x?i1,i?1,2,M... ,2在均匀量化时，量化噪声功率的平均值Nq可以用下式表示为

qi?Nq?E[(xk?qi)]??(xk?qi)f(xk)dxk???(xk?qi)2f(xk)dxk (7-14)

22?Vi?1xi-1VMxi式中，xk为模拟信号的抽样值即x(kTs)；qi为量化电平值；f(xk)为信号抽样值xk的概率密度；E表示求统计平均值；M为量化电平数；xi = -V + iΔ；qi = -V + iΔ – 0.5Δ。

信号xk的平均功率可以表示为

S0?E(xk)??xk2f(xk)dxk (7-15)

?V2V若已知信号xk的概率密度函数，则由式(7-14)和(7-15)可以计算出平均信号量噪比。 当输入信号m(t)在区间[-V,V]具有均匀概率密度函数，量化电平数M，则均匀量化后的输出信号功率

?1 S0??xk??V?2VV2M22?? (7-16) ?dxk?12?量化噪声功率

?2 Nq? (7-17)

12所以，平均量化信噪比

或写成

?S0 ??N?q??20lgM?6N???dB(dB)S0?M2 (7-18) Nq (7-19)

式中，M=2N；N为二进制编码位数。

由式(7-19)可见，编码位每增加1位，平均量化信噪比就提高6dB。

由式(7-17)可见，量化噪声功率Nq只与量化间隔Δ有关。对于均匀量化，Δ是确定的，因而Nq固定不变。但是，信号的强度可能随时间变化。当信号小时，量化信噪比也小。所以，均匀量化对于小输入信号很不利。为了克服这一缺点，改善的小信号时的量化信噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。

2)非均匀量化

为改善小信号时的信号量噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。非均匀量化的量化间隔Δ随信号抽样值的大小而变化，信号抽样值小时，Δ也小；信号抽样值大时，Δ也大。具体实现方法是先将信号抽样值压缩，再进行均匀量化。

关于电话信号的压缩特性，国际电信联盟(ITU)制定了两种建议，即A压缩律，及相应的近似算法13折线法和15折线法。我国大陆、欧洲各国以及国际间互连时采用A律及相应的13折线法，北美、日本和韩国等少数国家和地区采用μ率及15折现法。

①A压缩律

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