Gbwehw北大清华状元谈学习经验（数学）(2)

该较为可行。

牛强(清华大学热能系学生，辽宁省高考理科第十名)：

高中数学内容庞杂，有幂函数、数列、复数、三角、立体几何、解析几何等内容。虽然相互之间常结合起来做成综合题，但实际上，在基本的概念、原理和解题技巧上关联甚少。所以复习时宜采取各个击破的方式，先掌握每一部分的内容再处理综合问题。 现在许多同学热衷于做难题，认为“难题掌握了，简单问题也不在话下”。但实际上，难题常偏重于考查技巧，而疏于基本概念和原理的考查；这样，许多同学费力甚多解出了难题却在基本的小题上失去许多分，结果得不偿失。而且，须知，数学这一科目如果深究起来是深不可测的。一些数学竞赛的题目更是与高考题目少有关系，所以除非确实有极高的天份与兴趣，否则，就不要无限度地去做难题，而应以把握基本概念为主，深刻体会基本例题中的求解方法与技巧。

下面再让我分类谈一谈。

在学习幂函数时，我们可以深刻体会到图象的重要性。事实上，在整个学习过程中，图象都可以给我们以很大的帮助。

在对数列的学习和复习中，我们不仅仅要牢记那几条公式，而且应理解甚至牢记那些公式的推导过程。考试中题目的解法很少会是套用公式，却常常含在书中的例题、公式推导中。 有一位老师说“三角是数学中最简单的部分”。这么说是因为三角题目常有极强的规律可循，通常有“遇到积就化和差，遇到和差就化积，遇到乘方就降次”的说法。一般地，如果能牢记那些公式，解题可以有一定把握。

在学习复数时，要熟练掌握复数的两种表示方法和它的计算公式。高中复数是比较粗浅的，只是为以后的学习打基础，我们应注意体会它的几何意义并与代数中的其它内容对比。 立体几何是有趣的，它将我们的思维从平面移到了空间，充分开发我们的空间想象力。复习时我们应以最基本的画图开始——好的图形可以起到事半功倍的效果。我们既要想象出空间形状，又要把空间图形搬回平面上，用平面几何的方法解立体几何的题目。 解析几何是很难的一部分内容，常作压轴题出现。几类二次曲线的应用常使学子们束手无策，大量的运算常令人望而生畏。其实只要理解它们的概念，用焦点与准线的定义解题，常可以避开大量的运算。

下面用几道例题加以说明。

1.已知｜z+i｜+｜z-i｜=z求｜z+i+1｜的最小值。

解：本题考查复数的几何意义，只要知道｜z+i｜表示z到-i点的距离，便可以理解，所求为：z点距-1-i的距离。显然答案为1。 解:遇切变弦:sinAcosA??2mcosAsinAsin2A?cos2A?2msinAcosA11??2m,又sin2A?2sinAcosA?sinAcosAm4解:f?1?sin2x?sinx15??(sinx?)2?24?22?x?,???sinx?42215当sinx?时,fmax?24

3.已知:x??,求f?cos2x?sinx的值?在求fmax时可以参看图线,显然fmax在sinx??计算得fmax?1?222时取得?2 2.已知：tanA+cotA=2m，求sin2A

另外还要说一点，有一部分同学一遇到复杂的计算就跳过不做，认为“知道思路就可以”。其实数学是理科的基础，而计算又是数学的基础，我们应踏踏实实地掌握这一个基本功。 徐凡(清华大学经济管理学院学生，北京市高考理科第二名保送入清华大学)：

高中数学，与其它学科一样，简单划一，可分为概念、定理、应用。临考复习，各章节也当遵循这三步。数学本身是很抽象的，掌握起来也就不很容易。我以为学习或复习的方法为理解概念，做题与总结三个环节。说实话，这并不是一条捷径，是条大路，好找也好走些，不过时间自然要用长些。

掌握概念，包括定理，是最初的一环，重要性不言自明。然而这却常常被人们忽略。这是由于这些概念表述往往很简单，看一遍就可以记住。然而记住并不意味懂，与应用更是相去甚远。概念之间是相互联系的。如果头脑中只有一个个孤立的概念，解题时必然找不到思路。因此，学习或复习时就是努力建立这些联系。比如，复数这个概念，a+bi(a,b∈R)，想到这个概念，首先应该想到复平面，然后是复数的向量表示，模与方向；复数加减——平行四边形法则，复数乘除——旋转与伸缩；复数乘方——连续旋转与连续伸缩，复数平方——等分圆周??如此等等。这代表了一个方向，即将抽象的代数概念放入具体的坐标系中，考察它的几何意义。这不仅有助于理解，而且借助图形的形象性，正是解复数的思路之一。

另一个方向是考虑复数集，它与实数集及其它数集的关系；复数相等、复数共轭与其它数集中的相等与共轭有什么相同点与不同点。这不仅有助于澄清概念，而且将复数概念延伸出去，与实数联系起来，也是一种“温故知新”吧。

关于概念与定理还要言明的是有些概念在实际中并不常用，常用的是它的等价命题。如“共轭复数”这个概念，原始定义为“两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数叫共轭复数”，而实际中常用的是“两个复数为共轭复数等价于它们的和与乘积都为“实数”。一方面，我们要接受并消化这种引申定义，因为在实际应用中它更有针对性，更方便；然而也不能就此忽略原始定义，它更具普遍性，这在后文还将有所论述。

下面谈谈做题。虽然题海战术已被批驳得体无完肤，然而每到高考复习阶段，各种参考书、习题集便蜂涌而出，名目繁多，装帧精美而且价格不菲，然而有些书内容实在让人无话可说。毕竟每年这会儿财神爷必然光顾，家长自然是不惜本钱，学生这时也只能“跟着感觉走”，因此盲目性很大。为了压缩投入，提高产出，不妨征询老师的意见，依靠老师的经验当是一条捷径。

做题量大小，依各人情况而定。你若有精力，有时间，偏要多做题，谁也管不着。我以为，复习阶段是需要一定的做题量的，不过做得过多，超过一定量后，收效的增长率也会随着投入的再增加而递减。与其如此，不如把时间投到其它科目。我的老师就是这样教我的，即1×5大于5×1。

这就是说一道题分五种方法做，其效果比做同类的5道题要大。先看这样一道例题：

已知抛物线y?x上存在两点P,Q,使得P和Q关于直线y?1?k(x?1)对称,试求实数k的取值范围?(详见96年9月西城区数研中心编??高三数学复习指导??301页例题三)书中给出了三种解法如下?解法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上两点且P,Q关于直线y?1?k(x?1)对称??y12?x1?2?y2?x2?y?y12?1??k?x1?x2?y?yx?x22?1?1?k(1?1)2?2

(以下略)

将所有关系用方程表出，共有4个方程5个参量，消去参量后用二次方程根的判别式求解，这无疑是最常规的办法，而对所有解析几何的题目，这种方法在理论上都是行得通的。虽然这种方法较繁琐，但由于它的通用性很好，切不可忽视。何况以现有的评分制度，写出上述四个方程，捞得也不少了。我学习有懂、会、熟、巧四个阶段，到“熟”的境界已相当不易，“巧”字更需平日功夫。然而在高考中时间紧迫，一心取巧也许会竹篮打水——一场空，优秀的学生尤慎之。“常仙解题”乃吾师之诲。

如果在成绩上想更进一步，上述解法一的“理论上可行”在实际中对有些题目也许就行不通了，这是由于消参后式子太过复杂，无法化简，且极易出错。如果平日训练有素，可看出较简便的解题方法，请看解法二：

设直线PQ方程x?ky?m?0与y2?x联立,消去x得y2?ky?m?0??与抛物线交于P,Q两点???k2?4m?0又y1?y2??k?k?PQ中点纵坐标为2(以下略)

这种解法的中心就是取出这个中点。用判别式保证PQ与抛物线相交于两点，由于y-1=k(x-1)垂直平分PQ的垂直性已在设PQ方程时保证，再用中点为两直线交点保证平分就构成了这种解法的基本思路。

解法三：同样取出中点，但利用了该点在抛物线内部以保证PQ与抛物线交于两点。

由此可见，后两种方法较第一种方法要简单很多，但思路难于寻找。做题时想不到这种做法并无要紧，但看例题解法是切不可走马观花，而要作出些切实的分析，并进行适当的归纳、总结，以利提高。

实际上概念，做题与总结三环环环相扣，把它拆开来说是不很恰当的。

做题时就要进行方法的总结。对于某种类型题，要对可能的方法进行列举，选出常规方法。有些比较巧妙的方法在一定范围内也有一定的通用性，也可记为常规方法。例如取中点对于点点对称问题往往很有效，这样你的思路就拓宽了。

对解题步骤也要有所归纳。有时，对于有些题目，你会不会感到无从下手呢?这就要寻找到切入点。例如对含多个参变量方程进行讨论，首先要选取只影响一个变量的条件。这里就不再举具体例子了。实际上，这种对步骤的归纳在大学数学学习中是很普遍的。

对概念、定理进行总结。也许你会以为这没有什么好总结的。其实，所谓总结就是进一步寻找它们之间的联系，将它们连成一个彼此交通的网络。我们都知道生物进化的树状结构，我以为数学知识，至少在局部上也应具有这样的结构。正如前文所叙，原始定义比从它引申出来的等价命题具有更大的普遍性。知识树状体系中越靠近根部越具有普遍性。而最具代表性的就是定义。也就是说在使用某种方法行不通时，使用定义往往可以获得解决。比如立体几何中，如果几个垂直关系间能使用三垂直定理，不妨试一试直线与平面垂直的性质定理与判定；如果证明圆与直线相切不能用圆心到直线距离或其它方法求出，老老实实用切线定义当会有所收获。这里的例子也许并不恰当，实际应用中，这种思想当有用武之地。 我想以上所述概括了数学学习的一种方法。这种方法应该是有效的，但是需要投入较多时间。在一道题上投入时间过多，心理上要能承受。临考复习改变方法如同临阵易帅，要冒一定风险，望诸君慎之。

王新(清华大学电子系学生，湖北省高考理科第三名)：

首先，你应该对高中所学内容按章节全面地进行一次系统的复习。我高三那年，数学课上采

用的就是这种复习方法。我当时态度十分认真，为数学在高考中取得好成绩，打下坚实的基础。在复习的过程中，最好能做一定量的习题(我并不要求大量。应该说，做题贵在精。那种对概念要求高，自己易做错的题比较好)。举个例子，比方说，这两周，你集中精力复习复数这一章，然后认真做一套复数题，检查自己复习中的漏洞。通常，你做错一道题，可能有四种情况：概念不清或根本不理解题意；计算过程中出现失误；方法不当或虽知道题意却不知道如何做；对题意理解失误。针对第一种情况，你应该找到课本，认真看一看弄错了的概念，对弄混淆了的概念进行比较、理解(检查自己是否用已理解的办法做题)；计算出现错误，相对来说是个比较小的错误。但是对这种错误不能太轻视，平时练习时就应该有针对性的锻炼自己的计算能力，否则试想：如果在高考中发生因计算出错而失分，岂不太冤!对题意理解失误，本质上与计算出错差不多，不可忽视。至于方法，这是数学解题中十分重要的。一般来说，每一章中，总有一些有代表性的题目，每一个题目，都有自己的解法。如果你能掌握好这种解法(或者说是，见到类似的题目时，能熟练正确地套用这种解法)，这将对你的解题十分有利。

在你切实地做完第一轮的系统复习后，就可以做一轮综合复习。综合复习，所做的练习是那些在章节之间有跨度的。比如：一道题可能同时对于你的集合函数知识及不等式应用等知识同时进行考查，诸如此类。显而易见，没有第一轮系统复习的扎实基础，这一轮复习将是举步艰难的。同时，我建议能在这一阶段复习中，对一些题的解法作更进一步的归纳总结。举一个例子，在你进行完第一轮解析几何中关于椭圆曲线这一章的复习之后，你应该对如何求点的轨迹方程这一类问题的解法进行小结：可以按定义，直接写出符合题意的轨迹方程；可以先设一些变量，用方程来表示不同的曲线或直线，然后联立方程，消去参变量，求得这些曲线、直线交点的轨迹；或者利用平面几何知识，找出所求点满足的几何条件，进而设点的坐标，用方程表示这个几何条件。同时，你还应了解，做这种题时，还要去掉一些不合适的点。这些都是第一轮复习中应该做到的。在第二轮复习中，你应该进行更深入地归纳：你应该比较三种不同方法时所给的条件，尝试一下在同一条件下其他方法能否可行，如可行，其计算量有多大。这样，你就会特别注意，为什么这种条件下应这样做，而那种条件下却那样做，想一想为什么，在进行过这样的思考之后，你再拿到这种题时，根据题目的条件，头脑中会立刻反应出可行的解法，并能大致知道解法的大致过程，估计每种解法的计算量，最终找出一简单可行的方案。

我以上所说的两个复习阶段，说实在的，要求比较高。对于基础较差的同学，如果能真正落实好第一个阶段，则已能够在高考中取得一个比较理想的成绩。对于基础较好的同学，在做完第一轮的复习后，继续进行第二阶段的复习，将会有更多的收获。 刘海涛(清华大学精密仪器系学生，青海省高考理科第六名)：

数学知识是一个纯逻辑的体系，我感受最深的是要努力掌握各知识块内部及各种知识块之间的联系，因为这个联系把握得越深，知识就用得越灵活。打个比方，高中数学的学习过程中，老师总要强调四大数学思想方法，即函数与方程的思想、数形结合的思想、等价转换的思想和分类讨论的思想。我高中学数学时，对这四个数学思想方法颇有体会，发觉它们实在是数学知识内部深层次上的联系。函数与方程的思想贯穿了代数、平面解析几何这两大知识块的始终，代数第一册以函数为主，依次讲了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，第二册中也讲了不等式(已知函数因变量范围求相应的自变量范围，主要用函数的方法解决)、数列(自变量为自然数的函数)等与函数联系紧密的知识块。解析几何总体上分为两部分，即已知动点运动条件求动点轨迹方程和已知曲线方程，研究曲线性质，其中二元方程若以其中一者为自变量，另一者为因变量则转化成了一元函数，而方程的曲线则相应地转化成了函数图象，即解析几何的实质是函数，关于数形结合的思想，可在函数图象、解析几何及复数的几何意义中得以体现。函数(一元)图象、平面解析几何的思想方法即是把平面上的点

与一个二元实数对相对应，而这即是数形结合的思想，复数几何意义是用平面向量沿两个正交方向的分量来对应复数的实部与虚部。数形结合实现了“数”与“形”的转化，可以把复杂的代数运算转化为简单直观的几何运算，也可以把复杂的几何运算转化为易于操作的代数运算，其意义之重大不言而喻。而等价转化的思想支配的领域就更广了，它实质上是一个逻辑规律，而数学就是一个逻辑的体系。数学上问题的模式是根据已知条件，通过逻辑推理得出待求结果。而将不易用的已知条件等价转化为另一些易用的命题，则可实现百分之百地用上已知条件，克服了通常的将已知条件转化为其必要条件而得不出待求结果的毛病。若将不易求得的结果等价转化为易求得的结果，则避免了通常的分析法易犯的无法满足待求结果过强的充分条件的毛病。而分类讨论的思想，其实质也是一个逻辑规律，可描述如下：设A、B、

C?C?C均为命题,C与C互为否命题;\A?B\等价于\??B,且??B\,其中\A?B\较难实现,而A?A?C?C?往往较易实现?比如在求解含参数的不等式时,若分??B和??B由于增加了已知条件而A?A?别讨论参数取值范围(即上文中的C)来求解此不等式，往往能化繁为简，有时甚至非此法不能见效。综上所述，可见数学知识的内部联系是很深的，统领数学知识的四个数学思想方法即是一例。因此，我们在学习过程中要努力去把握这些联系，这是最根本的方法。 魏少岩(清华大学电机系学生，平时成绩优秀保送入清华大学)：

对一个考生来说，最难拿分的部分恐怕就是数、理、化，下面我重点谈一谈怎么复习才能有比较大的效果。

绝大多数学校高三复习都是从对书本的复习开始的，我们不妨称之为高三复习的第一阶段。有些同学认为复习课本没有必要，实际上，这种认识是错误的，书本是所有基础知识的发源地，只有对书本上的知识全面掌握才能谈得上“拔高复习”。在以往的高考题中，曾经出现过课本上例题的原题，比如“对射影定理的逆定理的叙述和证明”“证明异面直线上点的距离公式”等，有些题目也是由书本例题改编的。虽然它们的难度不是很大，但许多同学由于对基础知识不熟(比如搞不清哪个是射影定理哪个是射影定理的逆定理)而白白丢了分。

建议：如果老师对课本复习比较粗略(比如只利用一两节课的时间串一遍)，你自己要利用课余时间补上“这一课”。首先要重新认识、理解、记忆每一个《考试说明》上所要求的公式和

定理,第二要留心每个定理公式运用的条件和范围?例如:等比数列求和公式:\S?a1(qn?1)\运用条件是\q?1\?第三,认真看书上的例题?但要注意:课本复习虽然重q?1要，但不宜把时间拉得过长，一般以两到三周为宜。对书上课后的习题，最好不要花时间专门去做。

几乎所有的学校复习的第二阶段都是以课上老师讲方法，讲题为线索的。这一阶段非常重要，因为老师所讲的东西包含了各类问题的常规思想、误区、一些重要专题，一些很适用的巧法妙解。所以课上必须认真听讲、认真做笔记，对于课下老师留的练习要认真完成。因此只有认真做老师留的练习，才能熟悉掌握课上老师讲的规律并达到灵活运用的程度。

注意：①如果觉得老师留的题目不够做，可以自己利用课下时间加做一些题目，但千万不能搞题海战术，必须明确做题是为了巩固知识，不是为了做题而做题。自己最好准备一两套复习资料(注意资料不宜过多)，且保证资料一定要精，如果自己拿不准买什么样的好，可以征求老师的意见。利用资料时注意应该有选择性，一页接一页地做题一般不太好，最好的方法是：某一章节自己过去学得不好，老师给留的题目不足以达到练习的目的，这时做一做资料上的相关部分，而对其它自己学得不错的章节，认真做老师留的习题就足够了。②在第二阶

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