第6章 形函数(2)

u?a1?a2x?a3y?a4z?a5xy?a6xz?a7yz?a8xyz (5.116)

假设在i结点的位移值为ui，并将数值代入上式，其他各结点(j,k,l,m,n,p,q)亦类推，共有8个式子，其中第1式如下

u?a1?a2xi?a3yi?a4zi?a5xiyi?a6xizi?a7yizi?a8xiyizi (5.117)

?a1??1???1a?2???a3??1????a4??1可是以求得系数解????1?a5???a??16????a7??1?a???8??1xixjxkxlxmxnxpxq??yjzjxjyjxjzjyjzjxjyjzj?ykzkxkykxkzkykzkxkykzk??ylzlxlylxlzlylzlxlylzl?ymzmxmymxmzmymzmxmymzm??ynznxnynxnznynznxnynzn??ypzpxpypxpzpypzpxpypzp?yqzqxqyqxqzqyqzqxqyqzq??xixjxkxlxmxnxpxqyizixiyixiziyiziyizixiyixiziyizixiyizi?1?ui???u?j??u?k???ul??? (5.118) u?m??un????up????uq??1?1?1??1??1则有u??1xyzxyxzyzxyz??1??1??1?1???yjzjxjyjxjzjyjzjxjyjzj?ykzkxkykxkzkykzkxkykzk??ylzlxlylxlzlylzlxlylzl?ymzmxmymxmzmymzmxmymzm??ynznxnynxnznynznxnynzn??ypzpxpypxpzpypzpxpypzp?yqzqxqyqxqzqyqzqxqyqzq??xixjxkxlxmxnxpxqyizixiyixiziyizixiyizi?ui???u?j??u?k???ul??? (5.119) u?m??un????up????uq??1最后得到形函数的表达式为

?1?1??1??1[N]??1xyzxyxzyzxyz??1??1??1?1???yjzjxjyjxjzjyjzjxjyjzj?ykzkxkykxkzkykzkxkykzk??ylzlxlylxlzlylzlxlylzl?ymzmxmymxmzmymzmxmymzm??ynznxnynxnznynznxnynzn??ypzpxpypxpzpypzpxpypzp?yqzqxqyqxqzqyqzqxqyqzq??xiyizi (5.120)

（9）帕斯卡三角形

上述各种位移函数的构造有一定的规律，可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定，同时，这样制定的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求。以下是几种典型情况。

一维两结点单元的情况：

xx2x3x4x51 图3-14 一维两结点单元的变量组成

一维三结点单元的情况：

xx2x3x4x51

图3-15 一维三结点单元的变量组成

二维高阶单元的情况：

1xxxxx5443322 yxyxy222常数项

y22345线性项 二次项

yxyxy32 y三次项 四次项 五次项

xyxyxy33xyxyxy4y??图3-16 二维高阶单元的变量组成

三维四结点单元的情况：

z4z5z3z2zxyxxxx5432y2y3y4y5图3-17 三维四结点单元的变量组成

6.2形函数的性质

下面以平面三角形单元为例讨论形函数的一些性质。平面三角形单元的形函数为

Ni?12??ai?bix?ciy?， （i =1, 2 , 3） (a)

1x1x2x3y1y2，?为三角形单元的面积，ai,bi,ci为与结点坐标有关的系数，它们分别等y3其中，2??11于2?公式中的行列式的有关代数余子式，即a1 、b1 、c1 ，a2 、b2 、c2 和a3 、b3 、c3 分别是行列式2?中的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式。

对于任意一个行列式, 其任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。因此有：

第一，形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在单元结点1上，满足

N1?x1 , y1??12??a1?b1x1?c1y1??1 (b)

1在结点2、3上，有

N1?x2 , y2?? N1?x3 , y3??类似地有

N2?x1, y1??0 , N2?x2, y2??1 , N2?x3, y3??0 N3?x1, y1??0 , N3?x2, y2??0 , N3?x3, y3??12?12??a1?b1x2?c1y2??0 (c)

?a1?b1x3?c1y3??0 (d)

(e)

第二，在单元的任一结点上，三个形函数之和等于1，即

N1?x , y??N2?x , y??N3?x , y???12?12??a1?b1x?c1y?a2?b2x?c2y?a3?b3x?c3y? (f)

??a1?a2?a3???b1?b2?b3?x??ci?c3?c3?y??1简记为

N1?N2?N3?1 (g)

这说明，三个形函数中只有二个是独立的。

第三，三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端结点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如，在23 边上有

N1?x,y??1?x?x1x2?x1, N2?x,y??x?x1x2?x1, N3?x,y??0 (h)

这一点利用单元坐标几何关系很容易证明。

根据形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。例如，单元123和124具有公共边12。由上式可知，在12边上两个单元的第三个形函数都等于0，即

N3?x,y??N4?x,y??0 (i) 不论按哪个单元来计算，公共边12上的位移均由下式表示

u?N1u1?N2u2?0?u3v?N1v1?N2v2?0?u4 (j)

可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个结点1、2的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续的。

6.3用面积坐标表达的形函数

为了能够更好地理解形函数的概念，这里引入面积坐标。在如图5.18所示的三角形单元ijm中，任意一点P(x , y)的位置可以用以下三个比值来确定

y i Li =1 Li =3/4 P j m Li =1/2 Li =1/4 Li =0 o x 图3-18 平面三角形单元的面积坐标

?j??Li?iLj?Lm?m (5.121)

???式中，?——三角形单元ijm的面积，?i 、?j 、?m ——三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。Li ，Lj ，Lm叫做P点的面积坐标。显然，这三个面积坐标不是完全独立的，这是由于

?i +?j +?m =? (5.122)

所以有

Li +Lj +Lm =1 (3-123)

对于三角形Pjm，其面积为

1xy11?i?1xjyj??ai?bix?ciy? (5.124)

221xmym故有

Li??i??12?

?ai?bix?ciy? (5.125)

类似地有

Lj?Lm??j??m???a?2?12?1j?bjx?cjy (5.126)

?bmx?cmy? (5.127)

??am可见，前面讲述的平面三角形单元的形函数Ni 、Nj 、Nm 等于面积坐标Li 、Lj 、Lm 。

容易看出，单元三个结点的面积坐标分别为

结点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0 结点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 结点m： Li =0 Lj =0 Lm =1

根据面积坐标的定义，平行于jm边的某一直线上的所有各点都有相同的坐标Li，并且等于该直线至jm边的距离与结点i至jm边的距离之比，图3-18中给出了Li的一些等值线。平行于其它边的直线也有类似的情况。

不难验证，面积坐标与直角坐标之间还存在以下变换关系：

x?xiLi?xjLj?xmLmy?yiLi?yjLj?ymLm (5.128)

Li?Lj?Lm?1当面积坐标的函数对直角坐标求导时，有下列公式：

??x??y??Li??x?Li?Li??y?Li??Lj??x?Lj?Lj??y?Lj??Lm?Lm??x?Lm??y?Lm?bici?2??Li?bjcj?2??Lj?bmcm? (5.129)

2??Lm?????2??Li??2??Lj??2??Lm求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，有

?!?!?!???LLLdxdy?2? (5.130) ??ijm(??????2)!?式中, ?、?、? 为整常数。求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分值时，有 ?!?!??LLds?l (5.131) ?ij(????1)!l式中, l为该边的长度。

6.4有限元的收敛准则

对于一个数值计算方法，一般总希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，在有限元中，一旦确定了单元的形状，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，会将很难获得良好的数值解。

可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大。所以，在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因此细分单元网格，位移近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。

为了保证解答的收敛性，位移模式要满足以下三个条件，即

⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是，当结点位移由某个刚体位移引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如，平面三角形单元位移模式的常数项?1、?4 就是用于提供刚体位移的。

⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般包含两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变，另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然，在平面三角形单元的位移模式中，与?2、?3、?5、?6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。

⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，就可以保证位移的协调性。

在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。前面讨论过的三角形单元和矩形单元，均能同时满足上述三个条件，因此都属于完备的协调单元。在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3会比较困难，实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意。放松条件3的单元，即完备而不协调的单元，已获得了很多成功的应用。不协调单元的缺点主要是不能事先确定其刚度与真实刚度之间的大小关系。但不协调单元一般不象协调单元那样刚硬（即比较柔软），因此有可能会比协调单元收敛得快。

在选择多项式作为单元的位移模式时，其阶次的确定要考虑解答的收敛性，即单元的完备性和协调性要求。实践证明，虽然这两项确实是所要考虑的重要因素，但并不是唯一的因素。选择多项式位移模式阶次时，需要考虑的另一个因素是，所选的模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。对于线性多项式，各向同性的要求通常就等价于位移模式必须包含常应变状态。对于高次位移模式，就是不应该有一个偏移的坐标方向，也就是位移形式不应该随局部坐标的

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