第6章 形函数(3)

更换而改变。经验证明，实现几何各向同性的一种有效方法是，可以根据巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，就必须同时包含有另一边的对称项。

选择多项式位移模式时，还应考虑多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外结点的自由度数。通常取项数与单元的外结点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。

6.5 等效结点载荷列阵

在结构有限元整体分析时，结构的载荷列阵{R}是由结构的全部单元的等效结点力集合而成，而

e

其中单元的等效结点力{R} 则是由作用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到结点上，再逐点加以合成求得。本节以平面三角形单元为例，讨论集中力、表面力和体积力的等效移置方法以及如何形成结构等效载荷列阵，并与静力等效进行了对比。

6.5.1 单元载荷的移置

根据虚位移原理，等效结点力所做的功与作用在单元上的集中力、表面力和体积力在任何虚位移上所做的功相等，由此确定等效结点力的大小。对于平面三角形单元，有

({?})e

?eT?R?e?{d}?G???{d}{q}tds??T?T?T{d??}{p}tdxdy (5.132)

式中，{??}e——单元结点虚位移列阵，{d?}——单元内任一点的虚位移列阵；等号左边表示单元的等效结点力{R} 所做的虚功；等号右边第一项是集中力{G}所做的虚功，等号右边第二项是面力

{q}所做的虚功，积分沿着单元的边界进行；等号右边第三项表示体积力{p}所做的虚功，积分遍及整个单元；t为单元的厚度，假定为常量。

用形函数矩阵表示的单元位移模式方程为

{d}?[N]{?} (5.133)

?*e代入式(3-132)，注意到结点虚位移列阵{?}可以提到积分号的外面，于是有

({?})e T

?eT*e

?R?e

e?({?})( ?N??eTT?G????N?T{q}tds????N?T{p}tdxdy) (5.134)

注意到({? * })的任意性，上式化简为

e

{R } = {F} +{Q} +{P} (5.135)

其中

{F}= [N]{G} (5.136)

e

e e e

T

?Q??P?????N??q?tds (5.137) ???N??p?tdxdy (5.138)

e

TTe式(5.134)右端括号中的第一项与结点虚位移相乘等于集中力所做的虚功，它是单元上的集中力移置

e

到结点上所得到的等效结点力，它是一个6×1阶的列阵，记为{F }。同理，式(5.134)右端括号中的第二项是单元上的表面力移置到结点上所得到的等效结点力，记为{Q}；第三项是单元上的体积力移置到结点上所得到的等效结点力，记为{P }。

e

6.5.2 结构整体载荷列阵的形成

结构载荷列阵由所有单元的等效结点载荷列阵叠加得到。注意到叠加过程中相互联接的单元之

间存在大小相等方向相反的作用力和反作用力，它们之间相互抵消，因此，结构载荷列阵中只有与外载荷有关的结点有值。下面逐项进行讨论。

（1）集中力的等效载荷列阵

逐点合成各单元的等效结点力，并按结点号码的顺序进行排列，组成结构的集中力等效载荷列阵，即

?F????F?ee?1N?{F1TF2T?TTFn} (5.139)

上式中，单元e的集中力的等效结点力为(记单元结点局部编号为i,j,m)

?F?e式中

?{(Fi)eeT(Fj)eT(Fm)} (5.140)

eTT ?Fi???Ni?c?G? （i, j, m） (5.141)

式中，(Ni )c 、(Nj )c 、(Nm )c 为形函数在集中力作用点处的值。

（2）表面力的等效载荷列阵

把作用在单元边界上的表面力移置到结点上，得到各单元的表面力的等效结点力。按照结点号码的顺序进行排列，逐个结点叠加合成后，组成结构表面力的等效载荷列阵，即

?Q????Q?ee?1N?{Q1TQ2T?TTQn} (5.142)

式中，

?Q?e?Qie???Ni?q?tds???e??????Qj????Nj?q?tds? (5.143) ?Qe?????Nqtds??m??m???由于作用在单元边界上的内力在合成过程中已相互抵消，上式中的结点力只由作用在结构边界上的

表面力所引起。

（3）体积力的等效载荷列阵

与表面力类似，体积力的等效载荷列阵也是由单元体积力的等效结点力按结点号码顺序排列，在各结点处合成得到

?P????P?ee?1N?{P1TP2T?Pn} (5.144)

TT式中，单元e的体积力的等效结点力为

?P?e?Pie????Ni?p?tdxdy?e?????Pj?????Nj?p?tdxdy?Pe??N?p?tdxdy?m?????m???? (5.145) ???6.5.3载荷移置与静力等效关系

上述基于形函数的载荷等效所得到的结果与按照静力学的平行力分解原理得到的结果完全一致。

例如，如图3-19所示的单元e，在ij边上作用有表面力。假设ij边的长度为l，其上任一点P距结点i的距离为s。根据面积坐标的概念，有

Ni?Li?l?sl?1?sl， Nj?Lj?sl，

Nm?Lm?0 (a)

代入式(5.137)，求得单元表面力的等效结点力

?l??s????1???q?tds?l?0?e??????Nqtds?Qi?i?l???e??????s???Qj????Nj?q?tds?????qtds? (b) ??Qe????0l???Nqtds??m??m??????????0??Q?e可见，求得的结果与按照静力等效原理将表面力{q}向结点i及j分解所得到的分力完全相同。

{q}tds j ds e m l P s i e i Qi eQj j em 图3-19 表面力等效示意

再如，从图3-20所示的单元e的A点处取体积微元tdxdy，作用在其上的体积力为{p}tdxdy，为便于分析，认为力的作用方向与单元平面垂直。根据平行力分解原理，对jm边取力矩，求得结点i处的分力为

d?Pi??eAA1ii1e?p?tdxdy?e?Li?p?tdxdy?Ni?p?tdxdy (c)

整个单元e的体积力在结点i处的分力为

?Pi?j??N?p?tdxdy (d)

i类似地，分别对im及ij边取力矩，可得到结点j和结点m处的分力

?P?

?e??N?p?tdxdy (e)

j?Pm? ???N?p?tdxdy (f)

mm Li i1 A1 i A j

图3-20 体积力等效示意

因此，对于平面三角形单元，按照静力学中平行力的分解原理所得到的结点力与按照虚功原理求得的结点力完全一致，在实际计算等效结点力时，可以直接应用静力学中有关平行力分解的结果。例如，对均质等厚度的三角形单元所受的重力，只要把1/3的重量直接加到每个结点上，对于作用在长度为l的ij边上强度为q的均布表面力，可以直接把 (qtl) /2 移置到结点i和j上。

习题

3-1 解释基本概念：位移插值函数、位移模式、有限元解的收敛准则、位移解的下限性质。

3-2 简答下列问题：

什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？

什么是形函数？它有什么性质？如何建立有限元的形函数？

3-7 推导基于形状函数和结点的一维线性插值格式，将结果表示成矩阵形式。

3-8 横截面面积为常数的弹性杆两端固定，杆长为3L，弹性杆各处受相同的体积力作用，试采用3个长为L的线性单元，用形函数（不用插值多项式）给出Rayleigh-Ritz解的表达式。

3-12 求题3-12图所示三角形单元的插值函数矩阵和应变矩阵。设u1?2.0mm，v1?1.2 mm，u2?2.4 mm，v2?1.2 mm，u3?2.1 mm，v3?1.4mm，求单元内的应变和应力，并求出主应

力及其方向。若单元在jm边作用有线性分布的面载荷（x方向），求结点载荷向量。

题3-12图

3-13 二维单元在x，y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面旋转时怎样？单元旋转180后怎样？单元作上述变化时，应力矩阵[S]如何变化？

3-17 验证三角形单元的位移插值函数满足Ni?xj,yj???ij及Ni?Nj?Nm?1。

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