信息与计算科学系自动化专业物理学习题答案
解: (1)
???(?2??1)????2??(CP?BP)
若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为
??u 2????(0.5?0.4)?00.2
(CP?BP)2???5??????342，因只考虑2?以内的位相角，
??2，故反射波的波动方程为
x?y反?Acos[2??(t?)?]u2
此时驻波方程为
∴反射波在O点的位相为
题5-19图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
AP?A1?A2?4?10?3(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为
m
x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2
2??x??2Acoscos(2??t?)u2
故波节位置为
A?2A12?A2?2A1?22?10?32??x2???x?(2k?1)2 ?2.83u?10?3?4 (k?0,?1,?2,…)
13x??,?44 根据题意，k只能取0,1，即
故
m x?(2k?1)?5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20
图所示．已知振幅为A，频率为?波速为u． (1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正
方向运动，写出此波的波动方程；
(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．
5-21 一驻波方程为
y=0.02cos20xcos750t(SI)，求：
y?0,v0?0，∴
解: (1)∵t?0时，0动方程为
x?y?Acos[2?v(t?)?]u2m
?0???2故波
(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；
(2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为
y?2Acos2??xcos2??tu
A?0.02?0.012m
故知
2???750，则u???7502???202?， u
∴
题5-20图
x?(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将
3?4代
2??2??750/2???37.5m?s?1 2020u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两(2)∵
波节间距离
?2?入)
界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为
3?????42，再考虑到波由波疏入射而在波密
?x??2?0.157m
5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为
21
?
2?3?y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)
?????????42
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试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横
-1-1
两列火车分别以72km·h和54 km·h的波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节．
速度相向而行，第一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，解: 为使合成驻波在x?0处形成波节，则要反射波在
-1
若声速为340 m·s，求第二列火车上的观测者听见该x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动方程
声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?
为
5-25
?1解: 设鸣笛火车的车速为v1?20m?s，接收鸣笛的
y2?0.1cos(13t?0.0079x??)
5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的
波动方程分别为
?1火车车速为v2?15m?s，则两者相遇前收到的频率为
?1?y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．
(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；
(2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为
u?v2340?15?0??600?665u?v1340?20 Hz
两车相遇之后收到的频率为
?1?
u?v2340?15?0??600?541u?v1340?20
Hz
出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻
波振动．
令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置； 令
y?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t) ?0.12cos?xcos4?t
习题六
6-1答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无
能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
?x?(2k?1)?2,
则
x?(2k?1)12，
k?0,?1,?2,…，此即波节的位置．
(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2m处的振幅由下式决定，即
6-2答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组
成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运
A驻?0.12cos(??1.2)?0.097用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观
结果，再由实验确认的方法．
m
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，
汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽
这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子
笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为看成弹性的自由运动的质点． -1
330m·s，求汽车的速率． 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为
5-24
解: 设汽车的速度为的频率为
vs，汽车在驶近车站时，车站收到
6-3
u?0u?vs
u?2??0u?vs 汽车驶离车站时，车站收到的频率为
?1?微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速
度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．
气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? 联立以上两式，得
Ni 21 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 ?1?um?s?1
?1??21200?1000?300??30Vi(m?s?1) 10.0 ?1??21200?100解：平均速率 22
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VNV???Niii
6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动
能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗? 答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．
?21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1 41方均根速率
V2?分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的
量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系2221?102?4?202?6?103?8?40?2?50统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统?21?4?6?8?的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才2会变化． ?25.6 m?s?1
i?NV?Ni2i6-9 答：宏观量温度是一个统计概念，是大量
6-5
解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)
6-10 答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；
图(b)中(2)温度高．
??v0?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有
表示分布在v1~v2区间内的分子数. Nf(v)dv：
总分子数的百分比． (5)
0v2分子，其与总分子数的比值是1. (6)
?v16-6 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与
这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物
理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．
分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．
题6-10图
6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?
答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．
6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；
(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；
(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6
6-13 试说明下列各量的物理意义．
13kTkT22（1） （2） （3）ikT2
MiiRTRTM22（4）mol （5） （6）3RT2
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分
23
6-7 答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，
由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.
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1k子每一个自由度上的能量均为2T．
3kT(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为2. (3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为ikT2.
(4)由质量为M，摩尔质量为
平均动能
3kT． 25RT，氦分子的内能2(3)不相等，因为氢分子的内能??3RT． 2Mmol，自由度为i的分
6-17
MRT 得 MmolpV M?Mmol
RT5汞的重度 dHg?1.33?10N?m?3
解：由理想气体状态方程pV?氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg 氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4MiRTM2子组成的系统的内能为mol.
iRTi21(5) 摩尔自由度为的分子组成的系统内能为.
3RT(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能2，
或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总
m3
3RT和为2.
M?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)
6-14
解：(1)由p?nkT,n?(2)由??(3)由np知分子数密度相同； kT?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg
MMmolp?知气体质量密度不同； VRT6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题
6-18图所示．求
(1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2i(4)由nkT知单位体积内气体分子的总动能不一定相
2同．
6-15 解：在不涉及化学反应，核反应，电磁
变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．
由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即
题6-18图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
E?MiRT是温度的单值函数．
Mmol26-16
解：(1)相等，分子的平均平动动能都为
3kT． 2?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0??av/Nv0?f(v)??a/N?0?24
(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)5(2)不相等，因为氢分子的平均动能kT，氦分子的
2
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f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是p0.1?1.013?105n???2.45?1?23f(v)故曲线下的总面积为N， kT1.38?10?300(2)由归一化条件可得 m?3
v02v0av2N(2)氧分子的质量
Ndv?Nadv?Na?M0.0323v0m?mol??5.32?102623N06.02?101(3)可通过面积计算?N?a(2v0?1.5v0)?N
kg 3(4) N个粒子平均速率 M(3)由气体状态方程pV?RT 得 2?v0av2v01?Mmolv??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv
00v0N0v0Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.131123211RT8.31?300v?(av0?av0)?v0
N329 kg?m?3
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率 (4)分子间的平均距离可近似计算
v011?9vdNe???7.42?10 m v?NvdN00.5v03243 nv??2.45?10?0.5v0N1N1N0?v0?v0
(5)平均速率
Nv0Nv0av2?vf(v)dv?dv N1?0.5v0N1?0.5v0Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)??0.5v0N1v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数
131N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N
28427av07vv??0
6N9v?1.60RT8.31?300?1.60?446.58 m?s?1 Mmol0.032v2?1.73RT?482.87m?s?1 Mmol (6) 方均根速率
(7) 分子的平均动能
??55kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J 226-21 解：理想气体分子的能量
E??平动动能 t?3 Et?6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小
介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的分子数占总分子数的百分比． 解：令u??1?1iRT 2v，则麦克斯韦速率分布函数可表示为 vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02
解：(1)因为 p?nkT则
?N42?u2?ue?u 得 由
nN? O?1 nH?N4?1??1?e?0.02?1.66%
(2)由平均速率公式 N?RT v?1.60 Mmol解：(1)由气体状态方程p?nkT得 vOMmolH1?? vHMmolO43?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
26-22
6-20
25
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